Страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.104. Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответствующих сторон.

Пусть даны два подобных треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Обозначим длины их соответственных сторон как $a, b, c$ и $a_1, b_1, c_1$ соответственно. Периметры этих треугольников равны $P = a + b + c$ и $P_1 = a_1 + b_1 + c_1$.

Согласно определению подобных треугольников, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:$ \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} = k $

Из этого соотношения можно выразить стороны треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ через стороны треугольника $\triangle ABC$:$ a_1 = k \cdot a $, $ b_1 = k \cdot b $, $ c_1 = k \cdot c $.

Найдем периметр второго треугольника, подставив в его формулу полученные выражения для сторон:$ P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = k \cdot a + k \cdot b + k \cdot c $

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:$ P_1 = k(a + b + c) $

Поскольку выражение в скобках является периметром первого треугольника ($a + b + c = P$), мы получаем равенство:$ P_1 = k \cdot P $

Разделив обе части этого равенства на $P$ (периметр не может быть равен нулю), найдем искомое отношение периметров:$ \frac{P_1}{P} = k $

Так как $k$ является коэффициентом подобия и равно отношению соответственных сторон, то мы доказали, что:$ \frac{P_1}{P} = \frac{a_1}{a} = \frac{b_1}{b} = \frac{c_1}{c} $

Ответ: Утверждение доказано: отношение периметров подобных треугольников равно отношению их соответственных сторон.

2.105. Стороны первого треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м, а периметр второго треугольника, подобного данному, равен 5,5 м. Найдите стороны второго треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1 = 0,8$ м, $b_1 = 1,6$ м и $c_1 = 2$ м. Найдем его периметр $P_1$, который является суммой длин всех его сторон:

$P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 0,8 + 1,6 + 2 = 4,4$ м.

По условию задачи, второй треугольник подобен первому, и его периметр $P_2$ равен 5,5 м. Известно, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Найдем этот коэффициент:

$k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{5,5}{4,4}$

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на 10, а затем сократим:

$k = \frac{55}{44} = \frac{5 \cdot 11}{4 \cdot 11} = \frac{5}{4} = 1,25$

Отношение соответственных сторон подобных треугольников также равно коэффициенту подобия $k$. Обозначим стороны второго треугольника как $a_2, b_2, c_2$. Тогда:

$\frac{a_2}{a_1} = k, \quad \frac{b_2}{b_1} = k, \quad \frac{c_2}{c_1} = k$

Отсюда мы можем найти длины сторон второго треугольника:

$a_2 = a_1 \cdot k = 0,8 \cdot 1,25 = 1$ м.

$b_2 = b_1 \cdot k = 1,6 \cdot 1,25 = 2$ м.

$c_2 = c_1 \cdot k = 2 \cdot 1,25 = 2,5$ м.

Ответ: стороны второго треугольника равны 1 м, 2 м и 2,5 м.

2.106. Периметр одного треугольника составляет $ \frac{11}{13} $ часть периметра подобного ему треугольника, а разница соответствующих сторон этих треугольников составляет 1 м. Определите эти соответствующие стороны.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры первого и второго подобных треугольников соответственно. Пусть $a_1$ и $a_2$ — длины их соответственных сторон.

По условию задачи, периметр одного треугольника составляет $\frac{11}{13}$ часть периметра подобного ему треугольника. Запишем это в виде отношения:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{11}{13}$

Для подобных треугольников отношение их периметров равно отношению их соответственных сторон (коэффициенту подобия $k$):

$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Следовательно, мы получаем первое уравнение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{11}{13}$

Поскольку $\frac{11}{13} < 1$, то $a_1 < a_2$. По условию, разница соответственных сторон составляет 1 м. Это дает нам второе уравнение:

$a_2 - a_1 = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{a_1}{a_2} = \frac{11}{13} \\ a_2 - a_1 = 1\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$ через $a_2$:

$a_1 = \frac{11}{13} a_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a_2 - \frac{11}{13} a_2 = 1$

Вынесем $a_2$ за скобки:

$a_2 \left(1 - \frac{11}{13}\right) = 1$

$a_2 \left(\frac{13}{13} - \frac{11}{13}\right) = 1$

$a_2 \cdot \frac{2}{13} = 1$

Теперь найдем $a_2$:

$a_2 = 1 \div \frac{2}{13} = 1 \cdot \frac{13}{2} = 6,5$ м.

Зная $a_2$, найдем $a_1$ из второго уравнения системы:

$a_1 = a_2 - 1 = 6,5 - 1 = 5,5$ м.

Таким образом, длины соответственных сторон равны 5,5 м и 6,5 м.

Ответ: 5,5 м и 6,5 м.

2.107. Высота, опущенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Высота $CD$, опущенная на гипотенузу $AB$, делит ее на отрезки $AD$ и $DB$. По условию, длины этих отрезков равны 9 см и 16 см. Пусть $AD = 9$ см и $DB = 16$ см.

Для нахождения сторон треугольника выполним следующие шаги:

1. Найдем длину гипотенузы $AB$. Она равна сумме длин отрезков, на которые ее делит высота:

$AB = AD + DB = 9 \text{ см} + 16 \text{ см} = 25 \text{ см}$.

2. Найдем длины катетов $AC$ и $BC$. Для этого воспользуемся метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике: катет является средним геометрическим (средним пропорциональным) между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

Проекцией катета $AC$ на гипотенузу является отрезок $AD$. Тогда:

$AC^2 = AB \cdot AD$

$AC^2 = 25 \cdot 9 = 225$

$AC = \sqrt{225} = 15 \text{ см}$.

Проекцией катета $BC$ на гипотенузу является отрезок $DB$. Тогда:

$BC^2 = AB \cdot DB$

$BC^2 = 25 \cdot 16 = 400$

$BC = \sqrt{400} = 20 \text{ см}$.

Таким образом, стороны треугольника — это катеты 15 см и 20 см, и гипотенуза 25 см.

Ответ: стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.

2.108. Дан треугольник со сторонами 3,5 см, 4 см и 5 см. Большая сторона подобного ему треугольника равна 6 см. Найдите стороны другого треугольника.

Пусть стороны первого треугольника равны $a_1 = 3,5$ см, $b_1 = 4$ см и $c_1 = 5$ см. Пусть стороны подобного ему второго треугольника равны $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Поскольку треугольники подобны, отношение их соответственных сторон постоянно и равно коэффициенту подобия $k$:

$\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

В подобных треугольниках большей стороне одного треугольника соответствует большая сторона другого. Большая сторона первого треугольника равна $c_1 = 5$ см. По условию, большая сторона второго треугольника равна $c_2 = 6$ см.

Найдем коэффициент подобия $k$ из отношения длин больших сторон:

$k = \frac{c_2}{c_1} = \frac{6}{5} = 1,2$

Теперь найдем остальные стороны второго треугольника, умножив соответствующие стороны первого треугольника на коэффициент подобия:

$a_2 = a_1 \cdot k = 3,5 \cdot 1,2 = 4,2$ см

$b_2 = b_1 \cdot k = 4 \cdot 1,2 = 4,8$ см

Таким образом, стороны другого треугольника равны 4,2 см, 4,8 см и 6 см.

Ответ: стороны другого треугольника равны 4,2 см, 4,8 см и 6 см.

2.109. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 26 см.

Обозначим стороны данного треугольника как $a_1 = 15$ см, $b_1 = 20$ см и $c_1 = 30$ см. Стороны искомого подобного треугольника обозначим как $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Первым шагом найдем периметр $P_1$ данного треугольника. Периметр — это сумма длин всех сторон: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 15 + 20 + 30 = 65$ см.

Периметр $P_2$ подобного треугольника дан в условии и равен 26 см.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Найдем этот коэффициент: $k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{26}{65}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 13: $k = \frac{26 \div 13}{65 \div 13} = \frac{2}{5}$

Коэффициент подобия $k$ также равен отношению соответствующих сторон подобных треугольников: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Теперь мы можем найти стороны второго треугольника, умножив стороны первого треугольника на коэффициент подобия $k$:

$a_2 = a_1 \cdot k = 15 \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{5} = 3 \cdot 2 = 6$ см.

$b_2 = b_1 \cdot k = 20 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

$c_2 = c_1 \cdot k = 30 \cdot \frac{2}{5} = \frac{30 \cdot 2}{5} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Проверим результат: найдем периметр второго треугольника, сложив длины его сторон: $P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 6 + 8 + 12 = 26$ см. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: стороны подобного треугольника равны 6 см, 8 см и 12 см.

2.110. Докажите, что отношение высот, опущенных к соответствующим сторонам подобных треугольников, равно отношению этих сторон.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим два подобных треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, с высотами $BH$ и $B_1H_1$, опущенными на соответственные стороны $AC$ и $A_1C_1$.

Дано:
Треугольник $\triangle ABC$ подобен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$, то есть $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.
$BH$ — высота $\triangle ABC$, проведенная к стороне $AC$.
$B_1H_1$ — высота $\triangle A_1B_1C_1$, проведенная к соответственной стороне $A_1C_1$.

Доказать:
$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1C_1}{AC}$.

Доказательство:

1. Поскольку по условию $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, их соответственные углы равны, а отношения длин соответственных сторон равны коэффициенту подобия $k$:

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$.

2. Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. Так как $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, они перпендикулярны сторонам, к которым проведены. Следовательно, $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные треугольники, в которых $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

3. Сравним треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. У них:
- $\angle A = \angle A_1$ (из подобия исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$).
- $\angle BHA = \angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$ (по определению высоты).
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам), $\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$.

4. Из подобия треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ следует пропорциональность их соответственных сторон. В частности, отношение высот $B_1H_1$ и $BH$ (катетов, лежащих напротив равных углов $\angle A_1$ и $\angle A$) равно отношению гипотенуз $A_1B_1$ и $AB$:
$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1B_1}{AB}$.

5. Из шага 1 мы знаем, что отношение сторон $A_1B_1$ и $AB$ равно отношению сторон $A_1C_1$ и $AC$ (коэффициенту подобия):
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{A_1C_1}{AC}$.

6. Объединяя равенства из шагов 4 и 5, получаем искомое соотношение:
$\frac{B_1H_1}{BH} = \frac{A_1C_1}{AC}$.

Таким образом, мы доказали, что отношение высот, опущенных к соответственным сторонам подобных треугольников, равно отношению этих сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Отношение высот, опущенных к соответственным сторонам подобных треугольников, равно отношению этих сторон.

2.111. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите AB, если известно, что:

1) $AC=30$, $AD=20$, $BD=16$ и $\angle BDC=\angle C$;

2) $BC=9$, $AD=7,5$, $DC=4,5$.

Для решения задачи воспользуемся свойством биссектрисы треугольника, которое гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $ABC$ и биссектрисы $BD$ это свойство выражается формулой: $\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$.

1) Дано: $AC=30$, $AD=20$, $BD=16$ и $\angle BDC = \angle C$.

Сначала найдем длину отрезка $DC$. Точка $D$ лежит на стороне $AC$, поэтому $AC = AD + DC$.
$DC = AC - AD = 30 - 20 = 10$.

По условию $\angle BDC = \angle C$. В треугольнике $BDC$ углы при основании $CD$ равны, следовательно, треугольник $BDC$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $BC = BD$.

Так как $BD = 16$, то и $BC = 16$.

Теперь применим свойство биссектрисы для треугольника $ABC$:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

Подставим известные значения в формулу:
$\frac{AB}{16} = \frac{20}{10}$

$\frac{AB}{16} = 2$

$AB = 16 \times 2 = 32$.

Ответ: 32.

2) Дано: $BC=9$, $AD=7,5$, $DC=4,5$.

Используем свойство биссектрисы треугольника $ABC$:
$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{AB}{9} = \frac{7,5}{4,5}$

Упростим соотношение в правой части, умножив числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$\frac{7,5}{4,5} = \frac{75}{45}$

Сократим полученную дробь на 15:
$\frac{75 \div 15}{45 \div 15} = \frac{5}{3}$

Теперь решим уравнение:
$\frac{AB}{9} = \frac{5}{3}$

$AB = 9 \times \frac{5}{3} = 3 \times 5 = 15$.

Ответ: 15.

2.112. Отрезок $AD$ является биссектрисой треугольника $ABC$. Найдите отрезки $BD$ и $CD$, если $AB=14$ см, $BC=20$ см, $AC=21$ см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

В треугольнике ABC отрезок AD является биссектрисой угла A. Следовательно, он делит сторону BC на отрезки BD и CD, для которых справедливо следующее соотношение:

$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $

По условию задачи нам известны длины сторон: $ AB = 14 $ см, $ AC = 21 $ см. Подставим эти значения в формулу:

$ \frac{BD}{CD} = \frac{14}{21} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3} $

Таким образом, мы получили отношение $ \frac{BD}{CD} = \frac{2}{3} $. Из этого отношения можно выразить длину одного отрезка через другой, например: $ BD = \frac{2}{3} CD $.

Также мы знаем, что точка D лежит на стороне BC, а значит, сумма длин отрезков BD и CD равна длине стороны BC:

$ BD + CD = BC $

По условию $ BC = 20 $ см, поэтому:

$ BD + CD = 20 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для BD из первого уравнения во второе:

$ \frac{2}{3} CD + CD = 20 $

Вынесем CD за скобки и решим уравнение:

$ (\frac{2}{3} + 1) CD = 20 $

$ \frac{5}{3} CD = 20 $

$ CD = 20 \cdot \frac{3}{5} $

$ CD = 4 \cdot 3 = 12 $ см.

Теперь, зная длину CD, мы можем найти длину BD:

$ BD = 20 - CD = 20 - 12 = 8 $ см.

Ответ: $ BD = 8 $ см, $ CD = 12 $ см.

2.113. Используя подобие треугольников, найдите высоту:

1) дома (школы);

2) тополя (вышки или столба).

Для нахождения высоты высоких объектов, таких как дом или дерево, с помощью подобия треугольников можно использовать несколько практических методов. Так как задача общая, приведем описание двух таких методов с примерами.

1) дома (школы)

Для определения высоты дома можно использовать метод теней в солнечный день. Этот метод основан на том, что солнечные лучи падают на землю параллельно, создавая подобные треугольники.

Порядок действий:

1. Измерьте рулеткой длину тени, которую отбрасывает дом. Обозначим ее $S_{дома}$.

2. Рядом с домом воткните в землю строго вертикально шест известной высоты. Измерьте его высоту $H_{шеста}$.

3. В то же самое время измерьте длину тени от шеста, $S_{шеста}$.

4. Дом и шест образуют с горизонтальной поверхностью земли прямые углы. Солнечные лучи, будучи параллельными, образуют с землей одинаковый угол $\alpha$. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника, которые подобны по двум углам (прямой угол и угол $\alpha$).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответственных сторон:

$ \frac{H_{дома}}{H_{шеста}} = \frac{S_{дома}}{S_{шеста}} $

Отсюда можно выразить и вычислить искомую высоту дома:

$ H_{дома} = H_{шеста} \cdot \frac{S_{дома}}{S_{шеста}} $

Пример: Пусть высота шеста $H_{шеста} = 1.5$ м, длина его тени $S_{шеста} = 2$ м, а длина тени от дома $S_{дома} = 16$ м. Тогда высота дома будет равна: $H_{дома} = 1.5 \cdot \frac{16}{2} = 1.5 \cdot 8 = 12$ м.

Ответ: Высоту дома можно определить, измерив в солнечный день длину его тени и одновременно длину тени от объекта известной высоты (например, шеста). Высота дома вычисляется из пропорции, основанной на подобии треугольников, образованных объектами, их тенями и солнечными лучами.

2) тополя (вышки или столба)

Для определения высоты тополя можно использовать метод с зеркалом. Этот метод основан на законе отражения света (угол падения равен углу отражения), что также позволяет построить подобные треугольники. Этот способ удобен тем, что его можно использовать и в пасмурную погоду.

Порядок действий:

1. Положите на землю небольшое зеркало (в точке $C$) на одной прямой с основанием тополя (точка $E$).

2. Встаньте на ту же прямую (в точку $A$) и, смотря в зеркало, отходите от него до тех пор, пока не увидите в его центре отражение верхушки тополя (точка $D$).

3. Измерьте высоту от земли до уровня ваших глаз. Это будет катет $AB$ первого треугольника.

4. Измерьте расстояние от ваших ног до центра зеркала ($AC$).

5. Измерьте расстояние от центра зеркала до основания тополя ($CE$).

6. Треугольник $\triangle ABC$, образованный высотой ваших глаз, расстоянием до зеркала и лучом зрения, и треугольник $\triangle DEC$, образованный высотой тополя, расстоянием до зеркала и лучом света, являются прямоугольными. Согласно закону отражения, угол падения луча от верхушки тополя равен углу отражения этого луча в глаз наблюдателя ($\angle DCE = \angle ACB$). Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ следует соотношение:

$ \frac{DE}{AB} = \frac{EC}{AC} $

Отсюда находим высоту тополя ($H_{тополя} = DE$):

$ H_{тополя} = AB \cdot \frac{EC}{AC} $

Пример: Пусть высота глаз наблюдателя $AB = 1.6$ м, расстояние от него до зеркала $AC = 2$ м, а расстояние от зеркала до тополя $EC = 20$ м. Тогда высота тополя будет равна: $H_{тополя} = 1.6 \cdot \frac{20}{2} = 1.6 \cdot 10 = 16$ м.

Ответ: Высоту тополя можно определить с помощью зеркала, размещенного на земле между наблюдателем и тополем. Необходимо измерить высоту до уровня глаз наблюдателя, расстояние от него до зеркала и расстояние от зеркала до тополя. Высота тополя вычисляется из пропорции, основанной на подобии треугольников, образованных за счет закона отражения света.