Номер 2.112, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.112. Отрезок $AD$ является биссектрисой треугольника $ABC$. Найдите отрезки $BD$ и $CD$, если $AB=14$ см, $BC=20$ см, $AC=21$ см.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Это свойство гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам треугольника.

В треугольнике ABC отрезок AD является биссектрисой угла A. Следовательно, он делит сторону BC на отрезки BD и CD, для которых справедливо следующее соотношение:

$ \frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} $

По условию задачи нам известны длины сторон: $ AB = 14 $ см, $ AC = 21 $ см. Подставим эти значения в формулу:

$ \frac{BD}{CD} = \frac{14}{21} $

Сократим полученную дробь:

$ \frac{14}{21} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{2}{3} $

Таким образом, мы получили отношение $ \frac{BD}{CD} = \frac{2}{3} $. Из этого отношения можно выразить длину одного отрезка через другой, например: $ BD = \frac{2}{3} CD $.

Также мы знаем, что точка D лежит на стороне BC, а значит, сумма длин отрезков BD и CD равна длине стороны BC:

$ BD + CD = BC $

По условию $ BC = 20 $ см, поэтому:

$ BD + CD = 20 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для BD из первого уравнения во второе:

$ \frac{2}{3} CD + CD = 20 $

Вынесем CD за скобки и решим уравнение:

$ (\frac{2}{3} + 1) CD = 20 $

$ \frac{5}{3} CD = 20 $

$ CD = 20 \cdot \frac{3}{5} $

$ CD = 4 \cdot 3 = 12 $ см.

Теперь, зная длину CD, мы можем найти длину BD:

$ BD = 20 - CD = 20 - 12 = 8 $ см.

Ответ: $ BD = 8 $ см, $ CD = 12 $ см.