Номер 2.113, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.113. Используя подобие треугольников, найдите высоту:

1) дома (школы);

2) тополя (вышки или столба).

Для нахождения высоты высоких объектов, таких как дом или дерево, с помощью подобия треугольников можно использовать несколько практических методов. Так как задача общая, приведем описание двух таких методов с примерами.

1) дома (школы)

Для определения высоты дома можно использовать метод теней в солнечный день. Этот метод основан на том, что солнечные лучи падают на землю параллельно, создавая подобные треугольники.

Порядок действий:

1. Измерьте рулеткой длину тени, которую отбрасывает дом. Обозначим ее $S_{дома}$.

2. Рядом с домом воткните в землю строго вертикально шест известной высоты. Измерьте его высоту $H_{шеста}$.

3. В то же самое время измерьте длину тени от шеста, $S_{шеста}$.

4. Дом и шест образуют с горизонтальной поверхностью земли прямые углы. Солнечные лучи, будучи параллельными, образуют с землей одинаковый угол $\alpha$. Таким образом, мы получаем два прямоугольных треугольника, которые подобны по двум углам (прямой угол и угол $\alpha$).

Из подобия треугольников следует соотношение их соответственных сторон:

$ \frac{H_{дома}}{H_{шеста}} = \frac{S_{дома}}{S_{шеста}} $

Отсюда можно выразить и вычислить искомую высоту дома:

$ H_{дома} = H_{шеста} \cdot \frac{S_{дома}}{S_{шеста}} $

Пример: Пусть высота шеста $H_{шеста} = 1.5$ м, длина его тени $S_{шеста} = 2$ м, а длина тени от дома $S_{дома} = 16$ м. Тогда высота дома будет равна: $H_{дома} = 1.5 \cdot \frac{16}{2} = 1.5 \cdot 8 = 12$ м.

Ответ: Высоту дома можно определить, измерив в солнечный день длину его тени и одновременно длину тени от объекта известной высоты (например, шеста). Высота дома вычисляется из пропорции, основанной на подобии треугольников, образованных объектами, их тенями и солнечными лучами.

2) тополя (вышки или столба)

Для определения высоты тополя можно использовать метод с зеркалом. Этот метод основан на законе отражения света (угол падения равен углу отражения), что также позволяет построить подобные треугольники. Этот способ удобен тем, что его можно использовать и в пасмурную погоду.

Порядок действий:

1. Положите на землю небольшое зеркало (в точке $C$) на одной прямой с основанием тополя (точка $E$).

2. Встаньте на ту же прямую (в точку $A$) и, смотря в зеркало, отходите от него до тех пор, пока не увидите в его центре отражение верхушки тополя (точка $D$).

3. Измерьте высоту от земли до уровня ваших глаз. Это будет катет $AB$ первого треугольника.

4. Измерьте расстояние от ваших ног до центра зеркала ($AC$).

5. Измерьте расстояние от центра зеркала до основания тополя ($CE$).

6. Треугольник $\triangle ABC$, образованный высотой ваших глаз, расстоянием до зеркала и лучом зрения, и треугольник $\triangle DEC$, образованный высотой тополя, расстоянием до зеркала и лучом света, являются прямоугольными. Согласно закону отражения, угол падения луча от верхушки тополя равен углу отражения этого луча в глаз наблюдателя ($\angle DCE = \angle ACB$). Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников $\triangle ABC \sim \triangle DEC$ следует соотношение:

$ \frac{DE}{AB} = \frac{EC}{AC} $

Отсюда находим высоту тополя ($H_{тополя} = DE$):

$ H_{тополя} = AB \cdot \frac{EC}{AC} $

Пример: Пусть высота глаз наблюдателя $AB = 1.6$ м, расстояние от него до зеркала $AC = 2$ м, а расстояние от зеркала до тополя $EC = 20$ м. Тогда высота тополя будет равна: $H_{тополя} = 1.6 \cdot \frac{20}{2} = 1.6 \cdot 10 = 16$ м.

Ответ: Высоту тополя можно определить с помощью зеркала, размещенного на земле между наблюдателем и тополем. Необходимо измерить высоту до уровня глаз наблюдателя, расстояние от него до зеркала и расстояние от зеркала до тополя. Высота тополя вычисляется из пропорции, основанной на подобии треугольников, образованных за счет закона отражения света.