Номер 2.115, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.115. Используя признаки подобия треугольников, докажите, что медианы треугольника в точке их пересечения делятся в отношении $2 : 1$, считая от вершины.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем в нем две медианы $AD$ и $BE$, где $D$ — середина стороны $BC$, а $E$ — середина стороны $AC$. Пусть медианы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Нам необходимо доказать, что $AO : OD = 2 : 1$ и $BO : OE = 2 : 1$.

Рассмотрим отрезок $DE$. Поскольку точка $D$ является серединой стороны $BC$, а точка $E$ — серединой стороны $AC$, то отрезок $DE$ является средней линией треугольника $\triangle ABC$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. Следовательно, $DE \parallel AB$ и $DE = \frac{1}{2}AB$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOE$.

1. Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle DOE$ ($\angle AOB = \angle DOE$), так как они являются вертикальными.

2. Угол $\angle OAB$ равен углу $\angle ODE$ ($\angle OAB = \angle ODE$) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AB$ и $DE$ секущей $AD$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOE$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны: $ \frac{AO}{DO} = \frac{BO}{EO} = \frac{AB}{DE} $

Мы знаем, что $DE = \frac{1}{2}AB$, откуда следует, что $\frac{AB}{DE} = \frac{AB}{\frac{1}{2}AB} = 2$.

Подставим это значение в нашу пропорцию: $ \frac{AO}{DO} = \frac{BO}{EO} = 2 $

Из этого равенства получаем, что $AO = 2 \cdot DO$ и $BO = 2 \cdot EO$. Это означает, что точка пересечения $O$ делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины. Поскольку выбор медиан $AD$ и $BE$ был произвольным, это свойство справедливо для любой пары медиан треугольника, а значит, и для всех трех. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Используя подобие треугольников, образованных двумя медианами и средней линией, мы показали, что медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.