Номер 2.114, страница 100 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.114. Постройте прямоугольный треугольник по заданному отношению.

Задача заключается в построении прямоугольного треугольника по заданному отношению его элементов. Поскольку в условии не уточнено, о каком именно отношении идет речь, рассмотрим два наиболее распространенных случая.

а) Построение по отношению катетов $a/b = m/n$

В этом случае заданы два отрезка $m$ и $n$, и требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого отношение катетов $BC/AC$ равно $m/n$. Все такие треугольники подобны друг другу. Мы можем построить один из них, взяв в качестве катетов сами отрезки $m$ и $n$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, $\angle C = 90^\circ$. По условию, отношение его катетов $a = BC$ и $b = AC$ равно $a/b = m/n$. Это означает, что треугольник $ABC$ подобен прямоугольному треугольнику с катетами $m$ и $n$. Следовательно, для построения достаточно создать прямоугольный треугольник с катетами, равными данным отрезкам $m$ и $n$.

Построение:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $C$.
2. Восстановить в точке $C$ перпендикуляр к этой прямой.
3. На одной из прямых от точки $C$ отложить отрезок $CA$, равный данному отрезку $n$.
4. На другой прямой от точки $C$ отложить отрезок $CB$, равный данному отрезку $m$.
5. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

По построению, угол $C$ прямой, следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Его катеты $AC = n$ и $BC = m$. Отношение катетов $BC/AC = m/n$, что и требовалось.

Исследование:

Задача имеет решение для любых двух заданных отрезков $m > 0$ и $n > 0$. Все построенные таким образом треугольники будут подобны. Если размеры отрезков $m$ и $n$ не заданы, можно выбрать их произвольно.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ с катетами $m$ и $n$ удовлетворяет условию задачи.

б) Построение по отношению катета к гипотенузе $a/c = m/n$

В этом случае заданы два отрезка $m$ и $n$ (причем $m < n$), и требуется построить прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$, у которого отношение катета $a=BC$ к гипотенузе $c=AB$ равно $m/n$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен, $\angle C = 90^\circ$. По условию, $a/c = m/n$. Это означает, что синус угла $A$, противолежащего катету $a$, равен $\sin A = a/c = m/n$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по гипотенузе и противолежащему катету. Мы можем построить такой треугольник, взяв в качестве катета отрезок $m$, а в качестве гипотенузы — отрезок $n$.

Построение:

1. Провести произвольную прямую и отметить на ней точку $C$.
2. Восстановить в точке $C$ перпендикуляр к этой прямой.
3. На перпендикуляре отложить от точки $C$ отрезок $CB$, равный данному отрезку $m$.
4. Провести окружность (или дугу) с центром в точке $B$ и радиусом, равным данному отрезку $n$.
5. Точка пересечения этой окружности с первоначальной прямой будет вершиной $A$ искомого треугольника.
6. Соединить точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

По построению, угол $C$ прямой, так как $AC$ и $BC$ лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный. Катет $BC$ равен $m$ по построению. Гипотенуза $AB$ равна $n$, так как точка $A$ лежит на окружности с центром $B$ и радиусом $n$. Таким образом, отношение катета к гипотенузе $BC/AB = m/n$, что и требовалось.

Исследование:

Задача имеет решение, если окружность из шага 4 пересекает прямую из шага 1. Это произойдет, если радиус окружности $n$ не меньше расстояния от ее центра $B$ до прямой, которое равно длине катета $m$. То есть, $n \ge m$. Так как в невырожденном прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катета, то должно выполняться строгое неравенство $n > m$. Если $n=m$, то точка $A$ совпадает с $C$, и треугольник вырождается в отрезок. Если $n < m$, решения нет. Окружность пересекает прямую в двух точках, симметричных относительно прямой $BC$, что дает два конгруэнтных треугольника.

Ответ: Построенный треугольник $ABC$ с катетом $m$ и гипотенузой $n$ удовлетворяет условию задачи при $n>m$.