Номер 2.109, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.109. Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см. Найдите стороны подобного ему треугольника, периметр которого равен 26 см.

Обозначим стороны данного треугольника как $a_1 = 15$ см, $b_1 = 20$ см и $c_1 = 30$ см. Стороны искомого подобного треугольника обозначим как $a_2$, $b_2$ и $c_2$.

Первым шагом найдем периметр $P_1$ данного треугольника. Периметр — это сумма длин всех сторон: $P_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 15 + 20 + 30 = 65$ см.

Периметр $P_2$ подобного треугольника дан в условии и равен 26 см.

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия $k$. Найдем этот коэффициент: $k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{26}{65}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 13: $k = \frac{26 \div 13}{65 \div 13} = \frac{2}{5}$

Коэффициент подобия $k$ также равен отношению соответствующих сторон подобных треугольников: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1} = k$

Теперь мы можем найти стороны второго треугольника, умножив стороны первого треугольника на коэффициент подобия $k$:

$a_2 = a_1 \cdot k = 15 \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{5} = 3 \cdot 2 = 6$ см.

$b_2 = b_1 \cdot k = 20 \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5} = 4 \cdot 2 = 8$ см.

$c_2 = c_1 \cdot k = 30 \cdot \frac{2}{5} = \frac{30 \cdot 2}{5} = 6 \cdot 2 = 12$ см.

Проверим результат: найдем периметр второго треугольника, сложив длины его сторон: $P_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 6 + 8 + 12 = 26$ см. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: стороны подобного треугольника равны 6 см, 8 см и 12 см.