Номер 2.106, страница 99 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.106. Периметр одного треугольника составляет $ \frac{11}{13} $ часть периметра подобного ему треугольника, а разница соответствующих сторон этих треугольников составляет 1 м. Определите эти соответствующие стороны.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры первого и второго подобных треугольников соответственно. Пусть $a_1$ и $a_2$ — длины их соответственных сторон.

По условию задачи, периметр одного треугольника составляет $\frac{11}{13}$ часть периметра подобного ему треугольника. Запишем это в виде отношения:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{11}{13}$

Для подобных треугольников отношение их периметров равно отношению их соответственных сторон (коэффициенту подобия $k$):

$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2}$

Следовательно, мы получаем первое уравнение:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{11}{13}$

Поскольку $\frac{11}{13} < 1$, то $a_1 < a_2$. По условию, разница соответственных сторон составляет 1 м. Это дает нам второе уравнение:

$a_2 - a_1 = 1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{a_1}{a_2} = \frac{11}{13} \\ a_2 - a_1 = 1\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $a_1$ через $a_2$:

$a_1 = \frac{11}{13} a_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a_2 - \frac{11}{13} a_2 = 1$

Вынесем $a_2$ за скобки:

$a_2 \left(1 - \frac{11}{13}\right) = 1$

$a_2 \left(\frac{13}{13} - \frac{11}{13}\right) = 1$

$a_2 \cdot \frac{2}{13} = 1$

Теперь найдем $a_2$:

$a_2 = 1 \div \frac{2}{13} = 1 \cdot \frac{13}{2} = 6,5$ м.

Зная $a_2$, найдем $a_1$ из второго уравнения системы:

$a_1 = a_2 - 1 = 6,5 - 1 = 5,5$ м.

Таким образом, длины соответственных сторон равны 5,5 м и 6,5 м.

Ответ: 5,5 м и 6,5 м.