Номер 2.99, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.99. Покажите истинность или неправильность нижеуказанных предложений:

1) треугольники, соответствующие стороны которых параллельны, являются подобными;

2) треугольники, соответствующие стороны которых перпендикулярны, являются подобными;

3) два равнобедренных треугольника, углы при вершинах которых равны, являются подобными;

4) два равнобедренных треугольника, имеющих равные между собой углы, подобны;

5) два равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны, подобны;

6) два прямоугольных равнобедренных треугольника являются подобными;

7) два прямоугольных треугольника, острые углы которых равны, являются подобными;

8) любые два прямоугольных треугольника подобны.

1) треугольники, соответственные стороны которых параллельны, являются подобными

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых соответственные стороны параллельны: $AB \parallel A'B'$, $BC \parallel B'C'$, $AC \parallel A'C'$. Углы, образованные соответственно параллельными сторонами, равны. Угол $\angle A$ образован сторонами $AB$ и $AC$. Угол $\angle A'$ образован сторонами $A'B'$ и $A'C'$. Так как $AB \parallel A'B'$ и $AC \parallel A'C'$, то $\angle A = \angle A'$. Аналогично, $\angle B = \angle B'$ и $\angle C = \angle C'$. Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны по первому признаку подобия (по трем углам).

Ответ: утверждение истинно.

2) треугольники, соответственные стороны которых перпендикулярны, являются подобными

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых соответственные стороны перпендикулярны: $AB \perp A'B'$, $BC \perp B'C'$, $AC \perp A'C'$. Углы, образованные соответственно перпендикулярными сторонами, равны. Угол $\angle A$ образован сторонами $AB$ и $AC$. Угол $\angle A'$ образован сторонами $A'B'$ и $A'C'$. Так как $AB \perp A'B'$ и $AC \perp A'C'$, то $\angle A = \angle A'$. Аналогично, $\angle B = \angle B'$ и $\angle C = \angle C'$. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ подобны по первому признаку подобия (по трем углам).

Ответ: утверждение истинно.

3) два равнобедренных треугольника, углы при вершинах которых равны, являются подобными

Пусть даны два равнобедренных треугольника, $\triangle ABC$ с основанием $BC$ и $\triangle A'B'C'$ с основанием $B'C'$. Угол при вершине в $\triangle ABC$ — это $\angle A$, а в $\triangle A'B'C'$ — это $\angle A'$. По условию, $\angle A = \angle A'$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для $\triangle ABC$ имеем $\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$. Аналогично для $\triangle A'B'C'$ имеем $\angle B' = \angle C' = \frac{180^\circ - \angle A'}{2}$. Поскольку $\angle A = \angle A'$, то и углы при основании у этих треугольников будут равны: $\angle B = \angle B'$ и $\angle C = \angle C'$. Таким образом, все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого, следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия.

Ответ: утверждение истинно.

4) два равнобедренных треугольника, имеющих равные между собой углы, подобны

Это утверждение не всегда верно. Рассмотрим контрпример. Пусть первый равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ имеет углы $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$. Здесь угол при вершине равен $40^\circ$, а углы при основании — $70^\circ$. Пусть второй равнобедренный треугольник $\triangle A'B'C'$ имеет угол при вершине, равный $70^\circ$. Тогда углы при его основании будут равны $\frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$. То есть углы второго треугольника — $70^\circ, 55^\circ, 55^\circ$. Оба треугольника являются равнобедренными и имеют равный угол ($70^\circ$), но наборы их углов ($70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$ и $70^\circ, 55^\circ, 55^\circ$) не совпадают. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Ответ: утверждение неправильно.

5) два равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны, подобны

Пусть даны два равнобедренных треугольника, $\triangle ABC$ с основанием $BC$ и $\triangle A'B'C'$ с основанием $B'C'$. Углы при основании в $\triangle ABC$ — это $\angle B$ и $\angle C$, а в $\triangle A'B'C'$ — это $\angle B'$ и $\angle C'$. По условию, $\angle B = \angle B'$. Так как треугольники равнобедренные, то $\angle C = \angle B$ и $\angle C' = \angle B'$. Следовательно, $\angle C = \angle C'$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол при вершине $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - 2\angle B$. Аналогично, $\angle A' = 180^\circ - 2\angle B'$. Поскольку $\angle B = \angle B'$, то и $\angle A = \angle A'$. Таким образом, все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого, и треугольники подобны по первому признаку подобия.

Ответ: утверждение истинно.

6) два прямоугольных равнобедренных треугольника являются подобными

В прямоугольном равнобедренном треугольнике один угол прямой ($90^\circ$), а два других — острые. Так как треугольник равнобедренный, его острые углы равны между собой. Пусть острый угол равен $\alpha$. Тогда $90^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ$, откуда $2\alpha = 90^\circ$, и $\alpha = 45^\circ$. Таким образом, любой прямоугольный равнобедренный треугольник имеет углы $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Поскольку все такие треугольники имеют одинаковые углы, любые два из них подобны по первому признаку подобия.

Ответ: утверждение истинно.

7) два прямоугольных треугольника, острые углы которых равны, являются подобными

Утверждение следует понимать так: если один острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то треугольники подобны. Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ — два прямоугольных треугольника, где $\angle C = \angle C' = 90^\circ$. Пусть один из их острых углов равен, например, $\angle A = \angle A'$. Тогда у нас есть два треугольника, у которых равны две пары углов: $\angle C = \angle C' = 90^\circ$ и $\angle A = \angle A'$. По признаку подобия по двум углам (AA), эти треугольники подобны. (Третья пара углов также будет равна: $\angle B = 90^\circ - \angle A$ и $\angle B' = 90^\circ - \angle A'$, так что $\angle B = \angle B'$).

Ответ: утверждение истинно.

8) любые два прямоугольных треугольника подобны

Это утверждение неверно. Все прямоугольные треугольники имеют один одинаковый угол — $90^\circ$. Однако для подобия необходимо, чтобы были равны и острые углы. Приведем контрпример. Первый треугольник — прямоугольный равнобедренный, его углы равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Второй треугольник — прямоугольный с углами $90^\circ, 30^\circ, 60^\circ$ (половина равностороннего треугольника). Оба треугольника являются прямоугольными, но их острые углы не равны. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Ответ: утверждение неправильно.