Номер 2.94, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.94. Две окружности касаются внутренним образом. Секущая, проходящая через точку их касания, пересекает эти окружности в других точках А и В. Докажите, что касательные, проведенные в точках А и В к соответствующим окружностям, параллельны между собой.

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ с центром $O_1$ и $\omega_2$ с центром $O_2$, которые касаются внутренним образом в точке $T$. Проведем через точку $T$ секущую, которая пересекает окружность $\omega_1$ в точке $A$ и окружность $\omega_2$ в точке $B$. Обозначим касательную к $\omega_1$ в точке $A$ как $l_A$, а касательную к $\omega_2$ в точке $B$ как $l_B$. Докажем, что $l_A \parallel l_B$.

Поскольку окружности касаются в точке $T$, их центры $O_1$, $O_2$ и точка касания $T$ лежат на одной прямой. Рассмотрим треугольники $\triangle O_1AT$ и $\triangle O_2BT$. Треугольник $\triangle O_1AT$ является равнобедренным, так как $O_1A$ и $O_1T$ — радиусы окружности $\omega_1$. Следовательно, углы при основании равны: $\angle O_1AT = \angle O_1TA$. Аналогично, треугольник $\triangle O_2BT$ является равнобедренным, так как $O_2B$ и $O_2T$ — радиусы окружности $\omega_2$, и поэтому $\angle O_2BT = \angle O_2TB$.

Так как точки $A$, $B$, $T$ лежат на одной секущей прямой, а точки $O_1$, $O_2$, $T$ — на одной прямой, то углы $\angle O_1TA$ и $\angle O_2TB$ образованы пересечением этих двух прямых и, следовательно, совпадают. Таким образом, мы имеем цепочку равенств: $\angle O_1AT = \angle O_1TA = \angle O_2TB = \angle O_2BT$. Из этого следует, что $\angle O_1AT = \angle O_2BT$.

Углы $\angle O_1AT$ и $\angle O_2BT$ являются соответственными углами при прямых $O_1A$, $O_2B$ и секущей $AB$. Поскольку эти углы равны, прямые $O_1A$ и $O_2B$ параллельны: $O_1A \parallel O_2B$. По свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, $l_A \perp O_1A$ и $l_B \perp O_2B$. Так как $O_1A \parallel O_2B$, а прямые $l_A$ и $l_B$ перпендикулярны этим параллельным прямым, то они параллельны и между собой: $l_A \parallel l_B$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано; касательные, проведенные в точках $A$ и $B$ к соответствующим окружностям, параллельны.