Номер 2.92, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.92. В треугольник с основанием $a$ и высотой $h$ вписан квадрат так, что две вершины лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.

Пусть дан треугольник $ABC$ с основанием $AC$, длина которого равна $a$, и высотой $BH$, проведенной к этому основанию, равной $h$.
В треугольник вписан квадрат $KLMN$ так, что его вершины $K$ и $L$ лежат на основании $AC$, а вершины $N$ и $M$ — на боковых сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим искомую сторону квадрата через $x$. Тогда $KL = LM = MN = NK = x$.

Поскольку сторона квадрата $NM$ параллельна его стороне $KL$, которая лежит на основании треугольника $AC$, то прямая $NM$ параллельна прямой $AC$ ($NM \parallel AC$).
Рассмотрим два треугольника: исходный $\triangle ABC$ и "верхний" $\triangle NBM$. Так как $NM \parallel AC$, то $\triangle NBM$ подобен $\triangle ABC$ по двум углам (угол при вершине $B$ является общим, а углы $\angle BNM$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $NM$, $AC$ и секущей $AB$).

Высота треугольника $\triangle ABC$, проведенная к основанию $AC$, по условию равна $h$. Основание $AC$ равно $a$.
Основание треугольника $\triangle NBM$ — это сторона квадрата $NM$, ее длина равна $x$.
Найдем высоту треугольника $\triangle NBM$, проведенную из вершины $B$. Пусть $P$ — точка пересечения высоты $BH$ со стороной квадрата $NM$. Тогда высота $\triangle NBM$ — это отрезок $BP$. Длина отрезка $PH$ равна высоте квадрата, то есть $x$. Следовательно, высота $BP = BH - PH = h - x$.

Из подобия треугольников $\triangle NBM$ и $\triangle ABC$ следует пропорциональность их высот и оснований:
$ \frac{\text{высота } \triangle NBM}{\text{высота } \triangle ABC} = \frac{\text{основание } \triangle NBM}{\text{основание } \triangle ABC} $
Подставим известные значения в пропорцию:
$ \frac{h-x}{h} = \frac{x}{a} $
Теперь решим это уравнение относительно $x$, чтобы найти сторону квадрата:
$ a(h-x) = h \cdot x $
$ ah - ax = hx $
$ ah = hx + ax $
$ ah = x(h+a) $
$ x = \frac{ah}{a+h} $
Это и есть искомая сторона квадрата.

Ответ: $x = \frac{ah}{a+h}$