Номер 2.91, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.91. Впишите квадрат в данный треугольник так, чтобы две его вершины лежали на одной стороне, а другие две — на других сторонах.

Данная задача является классической задачей на построение и решается с помощью метода гомотетии.

Анализ

Предположим, что искомый квадрат $MNPQ$ уже построен. Пусть его вершины $M$ и $N$ лежат на стороне $AC$ треугольника $ABC$, а вершины $Q$ и $P$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Из определения квадрата следует, что его сторона $PQ$ параллельна стороне $MN$, а значит, и стороне $AC$ треугольника. Стороны $QM$ и $PN$ перпендикулярны $AC$.

Идея решения состоит в том, чтобы построить некоторый "вспомогательный" квадрат, а затем с помощью гомотетии (преобразования подобия) получить из него искомый. В качестве центра гомотетии удобно выбрать одну из вершин треугольника.

Рассмотрим гомотетию с центром в вершине $A$. Чтобы найти искомый квадрат $MNPQ$, мы построим вспомогательный квадрат $M'Q'P'N'$, который будет ему гомотетичен. У этого квадрата вершины $M'$ и $N'$ также будут лежать на прямой $AC$, а вершина $Q'$ — на прямой $AB$. Однако вершина $P'$, скорее всего, не будет лежать на стороне $BC$. Применив гомотетию, которая переводит точку $P'$ в точку $P$ на стороне $BC$, мы получим искомый квадрат.

Построение

Ниже приведено пошаговое описание построения искомого квадрата.

1. Выберем сторону треугольника, на которой будут лежать две вершины квадрата, например, сторону $AC$.

2. На стороне $AB$ выберем произвольную точку $Q'$.

3. Из точки $Q'$ опустим перпендикуляр $Q'M'$ на прямую $AC$.

4. На отрезке $M'Q'$ как на стороне построим квадрат $M'Q'P'N'$ так, чтобы сторона $M'N'$ лежала на прямой $AC$.

5. Проведем луч с началом в точке $A$, проходящий через точку $P'$.

6. Точка $P$, в которой этот луч пересекает сторону $BC$, является вершиной искомого квадрата.

7. Из точки $P$ опустим перпендикуляр $PN$ на сторону $AC$. Отрезок $PN$ — это сторона искомого квадрата.

8. Достроим квадрат $MNPQ$, у которого сторона $PN$ уже построена, а сторона $MN$ лежит на $AC$.

Доказательство

Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $A$, которая переводит точку $P'$ в точку $P$. Докажем, что образом $H(M'Q'P'N')$ является построенный четырехугольник $MNPQ$ и что он является искомым квадратом.

1. Так как гомотетия — преобразование подобия, образом квадрата $M'Q'P'N'$ будет квадрат. Обозначим его $H(M'Q'P'N') = MNPQ$.

2. Найдем, где лежат вершины квадрата $MNPQ$:
- Вершины $M'$ и $N'$ лежат на прямой $AC$. Центр гомотетии $A$ также лежит на этой прямой. Следовательно, их образы $M = H(M')$ и $N = H(N')$ тоже будут лежать на прямой $AC$.
- Вершина $Q'$ по построению лежит на стороне $AB$. Так как центр гомотетии $A$ является вершиной этой стороны, образ $Q = H(Q')$ также будет лежать на прямой $AB$ (и, поскольку $P$ лежит внутри отрезка $BC$, $Q$ окажется внутри отрезка $AB$).
- Вершина $P'$ по построению переходит в точку $P = H(P')$, которая лежит на стороне $BC$.

Таким образом, построенный квадрат $MNPQ$ имеет две вершины $M, N$ на стороне $AC$, а две другие вершины $Q, P$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, $MNPQ$ является искомым квадратом, вписанным в треугольник $ABC$.

Ответ: Искомый квадрат строится методом гомотетии. Сначала строится вспомогательный квадрат с одной стороной на основании треугольника и одной вершиной на боковой стороне. Затем, с помощью гомотетии с центром в вершине треугольника при основании, этот квадрат преобразуется в искомый, все вершины которого лежат на сторонах треугольника в соответствии с условием задачи.