Номер 2.84, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.84. Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы при вершинах равны.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренные треугольники.
В $\triangle ABC$ боковые стороны $AB = BC$, основание $AC$, угол при вершине $\angle B$.
В $\triangle A_1B_1C_1$ боковые стороны $A_1B_1 = B_1C_1$, основание $A_1C_1$, угол при вершине $\angle B_1$.
По условию, углы при вершинах равны: $\angle B = \angle B_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Доказательство можно провести, используя признаки подобия треугольников. Рассмотрим два способа.

Способ 1. По первому признаку подобия (по двум углам).
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle A = \angle C$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 = \angle C_1$.
2. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используем это свойство для нахождения углов при основании.
Для $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то $2\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда $\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$.
Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2}$.
3. По условию задачи дано, что углы при вершинах равны: $\angle B = \angle B_1$.
4. Из этого следует, что углы при основании этих треугольников также равны между собой: $\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2} = \angle A_1$.
5. Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть две пары равных углов: $\angle B = \angle B_1$ (по условию) и $\angle A = \angle A_1$ (как мы только что доказали).
6. Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Способ 2. По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).
1. По условию, углы при вершинах равны: $\angle B = \angle B_1$.
2. В равнобедренном $\triangle ABC$ стороны, образующие этот угол, равны друг другу: $AB = BC$.
3. Аналогично, в равнобедренном $\triangle A_1B_1C_1$ стороны, образующие угол $\angle B_1$, равны: $A_1B_1 = B_1C_1$.
4. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к равным углам. Составим отношения длин соответствующих сторон: $\frac{AB}{A_1B_1}$ и $\frac{BC}{B_1C_1}$.
5. Поскольку $AB=BC$ и $A_1B_1=B_1C_1$, то очевидно, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
6. Таким образом, мы имеем две пары пропорциональных сторон и равный угол между ними ($\angle B = \angle B_1$). По второму признаку подобия треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника являются подобными, если равны их углы при вершинах.