Номер 2.77, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.77. Постройте фигуры, гомотетичные данной фигуре:

1) окружности;

2) отрезку;

3) треугольнику;

4) четырехугольнику.

Центр и коэффициент гомотетии выберите сами.

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что вектор $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — ненулевое число, называемое коэффициентом гомотетии.

Для построения фигуры, гомотетичной данной, необходимо построить образы ее ключевых точек (вершин, центра и т.д.), а затем соединить их. Для любой точки $A$ ее образ $A'$ лежит на прямой $OA$. Если $k > 0$, то $A'$ лежит на луче $OA$ на расстоянии $OA' = k \cdot OA$ от центра $O$. Если $k < 0$, то $A'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OA$, на расстоянии $OA' = |k| \cdot OA$.

1) окружности

Для построения окружности, гомотетичной данной, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера выберем коэффициент $k = 2$. Исходная окружность $\omega$ имеет центр $C$ и радиус $R$.
Построение:
1. Образом окружности при гомотетии является окружность.
2. Центр новой окружности $C'$ является образом центра исходной окружности $C$. Строим точку $C'$ на луче $OC$ так, что $OC' = k \cdot OC = 2 \cdot OC$.
3. Радиус новой окружности $R'$ равен $R' = |k| \cdot R = 2R$.
4. Строим новую окружность $\omega'$ с центром в точке $C'$ и радиусом $R'$.
На рисунке показано построение для центра гомотетии $O$, лежащего вне исходной окружности.

Ответ: Фигура, гомотетичная окружности, является окружностью. Ее центр — это образ центра исходной окружности, а ее радиус равен произведению радиуса исходной окружности на модуль коэффициента гомотетии.

2) отрезку

Для построения отрезка, гомотетичного данному отрезку $AB$, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера выберем $k = 1.5$.
Построение:
1. Образом отрезка $AB$ при гомотетии является отрезок $A'B'$.
2. Находим образы концов отрезка, точек $A$ и $B$.
3. Строим луч $OA$ и на нем откладываем точку $A'$ так, что $OA' = k \cdot OA = 1.5 \cdot OA$.
4. Аналогично строим луч $OB$ и на нем откладываем точку $B'$ так, что $OB' = k \cdot OB = 1.5 \cdot OB$.
5. Соединяем точки $A'$ и $B'$ и получаем искомый отрезок $A'B'$. Этот отрезок будет параллелен исходному отрезку $AB$, а его длина будет в $|k|$ раз больше.

Ответ: Фигура, гомотетичная отрезку, является отрезком, параллельным исходному. Его длина равна произведению длины исходного отрезка на модуль коэффициента гомотетии.

3) треугольнику

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера выберем $k = 2$.
Построение:
1. Образом треугольника $ABC$ при гомотетии является треугольник $A'B'C'$.
2. Находим образы вершин треугольника: $A$, $B$ и $C$.
3. Строим точку $A'$ на луче $OA$ так, что $OA' = k \cdot OA = 2 \cdot OA$.
4. Строим точку $B'$ на луче $OB$ так, что $OB' = k \cdot OB = 2 \cdot OB$.
5. Строим точку $C'$ на луче $OC$ так, что $OC' = k \cdot OC = 2 \cdot OC$.
6. Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ и получаем искомый треугольник $A'B'C'$. Этот треугольник подобен исходному.

Ответ: Фигура, гомотетичная треугольнику, является треугольником, подобным исходному.

4) четырехугольнику

Для построения четырехугольника, гомотетичного данному четырехугольнику $ABCD$, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера возьмем $k = -0.5$. Отрицательный коэффициент означает, что образ будет находиться с противоположной стороны от центра гомотетии и будет перевернут.
Построение:
1. Образом четырехугольника $ABCD$ при гомотетии является четырехугольник $A'B'C'D'$.
2. Находим образы вершин четырехугольника: $A$, $B$, $C$ и $D$.
3. Строим точку $A'$ на прямой $OA$ с противоположной стороны от $O$ так, что $OA' = |k| \cdot OA = 0.5 \cdot OA$.
4. Аналогично строим точки $B'$, $C'$, $D'$ на прямых $OB$, $OC$, $OD$.
5. Соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ последовательно и получаем искомый четырехугольник $A'B'C'D'$. Этот четырехугольник подобен исходному.

Ответ: Фигура, гомотетичная четырехугольнику, является четырехугольником, подобным исходному.