Номер 2.75, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.75. Найдите k, если для фигур $ \Phi_1 $ и $ \Phi_2 $ выполняются соотношения $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $ и $ \Phi_2 \stackrel{k}{\sim} \Phi_1 $.

Обозначение $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $ означает, что фигура $ \Phi_1 $ подобна фигуре $ \Phi_2 $ с коэффициентом подобия $ k $. Это значит, что любая линия в фигуре $ \Phi_2 $ в $ k $ раз длиннее соответствующей линии в фигуре $ \Phi_1 $.

Рассмотрим первое соотношение: $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $. Пусть $ l_1 $ — некоторая характерная длина в фигуре $ \Phi_1 $ (например, длина стороны, диагонали, радиус и т.д.), а $ l_2 $ — соответствующая ей длина в фигуре $ \Phi_2 $. По определению подобия с коэффициентом $ k $, мы имеем: $ l_2 = k \cdot l_1 $

Рассмотрим второе соотношение: $ \Phi_2 \stackrel{k}{\sim} \Phi_1 $. Это означает, что фигура $ \Phi_2 $ подобна фигуре $ \Phi_1 $ с тем же коэффициентом подобия $ k $. Следовательно, любая линия в фигуре $ \Phi_1 $ в $ k $ раз длиннее соответствующей линии в фигуре $ \Phi_2 $. Используя те же характерные длины $ l_1 $ и $ l_2 $, мы получаем: $ l_1 = k \cdot l_2 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. $ l_2 = k \cdot l_1 $ 2. $ l_1 = k \cdot l_2 $

Подставим выражение для $ l_1 $ из второго уравнения в первое: $ l_2 = k \cdot (k \cdot l_2) $ $ l_2 = k^2 \cdot l_2 $

Поскольку $ l_2 $ является длиной, она не может быть равна нулю ($ l_2 > 0 $). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ l_2 $: $ 1 = k^2 $

Решениями этого уравнения являются $ k = 1 $ и $ k = -1 $. Однако коэффициент подобия по определению является положительной величиной ($ k > 0 $), так как он представляет собой отношение длин. Следовательно, единственным возможным решением является $ k = 1 $.

Альтернативный способ решения: Если фигура $ \Phi_1 $ подобна фигуре $ \Phi_2 $ с коэффициентом $ k $ (т.е. $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $), то обратное преобразование, которое переводит $ \Phi_2 $ в $ \Phi_1 $, также является преобразованием подобия, но с коэффициентом $ \frac{1}{k} $. Таким образом, из $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $ следует, что $ \Phi_2 \stackrel{1/k}{\sim} \Phi_1 $. По условию задачи, мы также имеем $ \Phi_2 \stackrel{k}{\sim} \Phi_1 $. Сравнивая коэффициенты подобия для преобразования от $ \Phi_2 $ к $ \Phi_1 $, получаем: $ k = \frac{1}{k} $ Умножив обе части на $ k $ (так как $ k > 0 $), получаем: $ k^2 = 1 $ Поскольку $ k > 0 $, то $ k = 1 $.

Ответ: $ k = 1 $.