Номер 2.79, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.79. Могут ли быть гомотетичными между собой:

1) две пересекающиеся прямые;

2) два луча, лежащих на пересекающихся прямых?

1) две пересекающиеся прямые

Предположим, что две различные пересекающиеся прямые $a$ и $b$ могут быть гомотетичны. Это означает, что существует преобразование гомотетии $H$ с некоторым центром $S$ и ненулевым коэффициентом $k$, такое, что образом прямой $a$ является прямая $b$, то есть $H(a) = b$.

Согласно одному из основных свойств гомотетии, образом любой прямой является прямая, параллельная исходной. Следовательно, если $H(a) = b$, то прямая $b$ должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Однако по условию задачи прямые $a$ и $b$ пересекаются, что означает, что они не параллельны. Мы пришли к противоречию.

Единственный случай, когда образ прямой совпадает с ней самой — это когда прямая проходит через центр гомотетии. Но даже в этом случае, чтобы $H(a)$ стало равно $b$, необходимо, чтобы прямые $a$ и $b$ совпадали, что противоречит условию о двух различных пересекающихся прямых.

Таким образом, две различные пересекающиеся прямые не могут быть гомотетичными.

Ответ: Нет.

2) два луча, лежащих на пересекающихся прямых

Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$. На прямой $l_1$ расположен луч $r_1$, а на прямой $l_2$ — луч $r_2$. Предположим, что лучи $r_1$ и $r_2$ гомотетичны. Это значит, что существует гомотетия $H$ с центром $S$ и коэффициентом $k \neq 0$, такая что $H(r_1) = r_2$.

Возьмем две различные точки $A$ и $C$ на луче $r_1$. Их образами при гомотетии $H$ будут точки $B = H(A)$ и $D = H(C)$, которые должны лежать на луче $r_2$.

По определению гомотетии, вектор, соединяющий образы точек, связан с вектором, соединяющим сами точки, следующим соотношением: $\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$.

Вектор $\vec{AC}$ лежит на прямой $l_1$ (или параллелен ей), так как обе точки $A$ и $C$ принадлежат лучу $r_1$, который лежит на $l_1$. Аналогично, вектор $\vec{BD}$ лежит на прямой $l_2$ (или параллелен ей), так как точки $B$ и $D$ принадлежат лучу $r_2$, который лежит на $l_2$.

Из векторного равенства $\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$ следует, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, то есть параллельны. А это, в свою очередь, означает, что прямые $l_1$ и $l_2$, на которых лежат эти векторы, также должны быть параллельны ($l_1 \parallel l_2$).

Это противоречит условию задачи, согласно которому прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются. Следовательно, наше начальное предположение было неверным.

Таким образом, два луча, лежащие на пересекающихся прямых, не могут быть гомотетичны.

Ответ: Нет.