Номер 2.76, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.76. Точки A и $A_1$, гомотетичны с коэффициентом подобия, равным 2. Определите центр гомотетии.

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит точку $A$ в точку $A_1$ относительно центра $O$ и с коэффициентом $k$. По определению гомотетии, для точек $A$, $A_1$ и центра $O$ справедливо следующее векторное равенство:

$\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA}$

В условии задачи дан коэффициент подобия $k = 2$. Подставим это значение в формулу:

$\vec{OA_1} = 2 \cdot \vec{OA}$

Это равенство означает, что векторы $\vec{OA_1}$ и $\vec{OA}$ коллинеарны и сонаправлены (так как $k > 0$), а длина вектора $\vec{OA_1}$ в два раза больше длины вектора $\vec{OA}$. Из этого следует, что точки $O$, $A$ и $A_1$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между точками $O$ и $A_1$.

Для того чтобы определить положение центра $O$ относительно известных точек $A$ и $A_1$, выразим вектор $\vec{AA_1}$ через векторы, выходящие из центра $O$:

$\vec{AA_1} = \vec{OA_1} - \vec{OA}$

Теперь подставим в это выражение равенство $\vec{OA_1} = 2 \cdot \vec{OA}$:

$\vec{AA_1} = (2 \cdot \vec{OA}) - \vec{OA} = \vec{OA}$

Мы получили равенство $\vec{OA} = \vec{AA_1}$. Это означает, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{AA_1}$ равны, то есть они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Геометрически это означает, что точка $A$ является серединой отрезка $OA_1$.

Таким образом, чтобы найти центр гомотетии $O$, нужно на прямой, проходящей через точки $A$ и $A_1$, отложить от точки $A$ в сторону, противоположную точке $A_1$, отрезок, равный по длине отрезку $AA_1$.

Это можно изобразить на схеме:

Ответ: Центр гомотетии $O$ — это такая точка на прямой $AA_1$, что точка $A$ является серединой отрезка $OA_1$. Другими словами, центр гомотетии $O$ — это точка, симметричная точке $A_1$ относительно точки $A$.