Номер 2.82, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.82. Докажите, что две концентрические окружности радиусами, равными 2 и 4, подобны и определите коэффициент подобия.

Две геометрические фигуры называются подобными, если одна может быть получена из другой с помощью преобразования подобия. Одним из видов такого преобразования является гомотетия (растяжение или сжатие относительно центра). Докажем, что данные окружности подобны, показав, что одна переходит в другую при гомотетии.

Пусть у нас есть две концентрические окружности с общим центром в точке $O$. Обозначим меньшую окружность как $C_1$ с радиусом $r_1 = 2$, а большую окружность как $C_2$ с радиусом $r_2 = 4$.

Рассмотрим преобразование гомотетии с центром в точке $O$ и некоторым коэффициентом $k$. По определению, это преобразование переводит любую точку $M$ в точку $M'$ так, что вектор $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Это означает, что точки $O$, $M$ и $M'$ лежат на одной прямой, а расстояние от центра до новой точки равно $|OM'| = |k| \cdot |OM|$.

Возьмем произвольную точку $M$ на окружности $C_1$. Для нее расстояние до центра $|OM| = r_1 = 2$. Мы хотим найти такой коэффициент $k$, чтобы точка $M'$ попала на окружность $C_2$. Для этого расстояние $|OM'|$ должно быть равно $r_2 = 4$.

Подставим известные значения в формулу гомотетии: $r_2 = |k| \cdot r_1$ $4 = |k| \cdot 2$ $|k| = \frac{4}{2} = 2$

Выберем положительный коэффициент $k=2$. Тогда гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k=2$ переводит каждую точку $M$ окружности $C_1$ в точку $M'$, которая удалена от центра $O$ на расстояние $2 \cdot 2 = 4$. Множество всех таких точек $M'$ образует окружность с центром $O$ и радиусом 4, то есть окружность $C_2$.

Поскольку одна окружность может быть получена из другой путем преобразования подобия (гомотетии), эти окружности подобны.

Коэффициент подобия по определению равен отношению длин соответствующих линейных элементов. В случае окружностей это отношение их радиусов (или длин окружностей).

Коэффициент подобия, который переводит окружность $C_1$ в $C_2$, равен: $k = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4}{2} = 2$.

Если рассматривать преобразование, переводящее большую окружность в меньшую, то коэффициент подобия будет обратной величиной: $k' = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба значения, 2 и 0.5, являются корректными коэффициентами подобия для данной пары окружностей.

Ответ: Доказательство основано на существовании преобразования гомотетии с центром в общем центре окружностей, которое переводит одну окружность в другую. Коэффициент подобия равен отношению их радиусов: $k = 4/2 = 2$ (или $k = 2/4 = 0.5$).