Страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.74. Возможно ли равенство подобных фигур? Приведите пример.

Да, равенство подобных фигур возможно. Это происходит в том случае, когда коэффициент подобия равен единице.

Чтобы это доказать, обратимся к определениям:

1. Две фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму. Это означает, что все соответствующие углы у них равны, а отношение длин любых соответствующих отрезков постоянно. Это постоянное отношение называется коэффициентом подобия $k$. Если отрезок в одной фигуре имеет длину $a$, то соответствующий ему отрезок в подобной ей фигуре будет иметь длину $b = k \cdot a$.

2. Две фигуры называются равными, если они имеют одинаковую форму и одинаковый размер. У равных фигур длины всех соответствующих отрезков равны. То есть, для отрезков $a$ и $b$ из предыдущего пункта будет выполняться равенство $a = b$.

Теперь предположим, что две фигуры одновременно и подобны, и равны. Тогда для длин их соответствующих отрезков должны выполняться оба условия:

• $b = k \cdot a$ (из подобия)
• $b = a$ (из равенства)

Приравняв правые части этих выражений, получим: $k \cdot a = a$.

Поскольку длина отрезка $a$ — это положительная величина ($a > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $a$, в результате чего получим $k = 1$.

Это доказывает, что две подобные фигуры равны тогда и только тогда, когда коэффициент их подобия равен 1. Таким образом, равенство фигур можно считать частным случаем подобия.

Пример:

Возьмем два любых равных квадрата, например, со стороной 5 см.
• Они равны, так как их можно совместить наложением (все стороны и углы совпадают).
• Они также и подобны: все их углы равны (по 90°), а отношение длин соответствующих сторон постоянно и равно $k = 5/5 = 1$.

Ответ: Да, равенство подобных фигур возможно. Это происходит, когда коэффициент подобия равен 1. По сути, равенство фигур является частным случаем подобия. В качестве примера можно привести любые две равные фигуры, например, два квадрата с одинаковой длиной стороны.

2.75. Найдите k, если для фигур $ \Phi_1 $ и $ \Phi_2 $ выполняются соотношения $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $ и $ \Phi_2 \stackrel{k}{\sim} \Phi_1 $.

Обозначение $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $ означает, что фигура $ \Phi_1 $ подобна фигуре $ \Phi_2 $ с коэффициентом подобия $ k $. Это значит, что любая линия в фигуре $ \Phi_2 $ в $ k $ раз длиннее соответствующей линии в фигуре $ \Phi_1 $.

Рассмотрим первое соотношение: $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $. Пусть $ l_1 $ — некоторая характерная длина в фигуре $ \Phi_1 $ (например, длина стороны, диагонали, радиус и т.д.), а $ l_2 $ — соответствующая ей длина в фигуре $ \Phi_2 $. По определению подобия с коэффициентом $ k $, мы имеем: $ l_2 = k \cdot l_1 $

Рассмотрим второе соотношение: $ \Phi_2 \stackrel{k}{\sim} \Phi_1 $. Это означает, что фигура $ \Phi_2 $ подобна фигуре $ \Phi_1 $ с тем же коэффициентом подобия $ k $. Следовательно, любая линия в фигуре $ \Phi_1 $ в $ k $ раз длиннее соответствующей линии в фигуре $ \Phi_2 $. Используя те же характерные длины $ l_1 $ и $ l_2 $, мы получаем: $ l_1 = k \cdot l_2 $

Теперь у нас есть система из двух уравнений: 1. $ l_2 = k \cdot l_1 $ 2. $ l_1 = k \cdot l_2 $

Подставим выражение для $ l_1 $ из второго уравнения в первое: $ l_2 = k \cdot (k \cdot l_2) $ $ l_2 = k^2 \cdot l_2 $

Поскольку $ l_2 $ является длиной, она не может быть равна нулю ($ l_2 > 0 $). Поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $ l_2 $: $ 1 = k^2 $

Решениями этого уравнения являются $ k = 1 $ и $ k = -1 $. Однако коэффициент подобия по определению является положительной величиной ($ k > 0 $), так как он представляет собой отношение длин. Следовательно, единственным возможным решением является $ k = 1 $.

Альтернативный способ решения: Если фигура $ \Phi_1 $ подобна фигуре $ \Phi_2 $ с коэффициентом $ k $ (т.е. $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $), то обратное преобразование, которое переводит $ \Phi_2 $ в $ \Phi_1 $, также является преобразованием подобия, но с коэффициентом $ \frac{1}{k} $. Таким образом, из $ \Phi_1 \stackrel{k}{\sim} \Phi_2 $ следует, что $ \Phi_2 \stackrel{1/k}{\sim} \Phi_1 $. По условию задачи, мы также имеем $ \Phi_2 \stackrel{k}{\sim} \Phi_1 $. Сравнивая коэффициенты подобия для преобразования от $ \Phi_2 $ к $ \Phi_1 $, получаем: $ k = \frac{1}{k} $ Умножив обе части на $ k $ (так как $ k > 0 $), получаем: $ k^2 = 1 $ Поскольку $ k > 0 $, то $ k = 1 $.

Ответ: $ k = 1 $.

2.76. Точки A и $A_1$, гомотетичны с коэффициентом подобия, равным 2. Определите центр гомотетии.

Гомотетия — это преобразование подобия, которое переводит точку $A$ в точку $A_1$ относительно центра $O$ и с коэффициентом $k$. По определению гомотетии, для точек $A$, $A_1$ и центра $O$ справедливо следующее векторное равенство:

$\vec{OA_1} = k \cdot \vec{OA}$

В условии задачи дан коэффициент подобия $k = 2$. Подставим это значение в формулу:

$\vec{OA_1} = 2 \cdot \vec{OA}$

Это равенство означает, что векторы $\vec{OA_1}$ и $\vec{OA}$ коллинеарны и сонаправлены (так как $k > 0$), а длина вектора $\vec{OA_1}$ в два раза больше длины вектора $\vec{OA}$. Из этого следует, что точки $O$, $A$ и $A_1$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между точками $O$ и $A_1$.

Для того чтобы определить положение центра $O$ относительно известных точек $A$ и $A_1$, выразим вектор $\vec{AA_1}$ через векторы, выходящие из центра $O$:

$\vec{AA_1} = \vec{OA_1} - \vec{OA}$

Теперь подставим в это выражение равенство $\vec{OA_1} = 2 \cdot \vec{OA}$:

$\vec{AA_1} = (2 \cdot \vec{OA}) - \vec{OA} = \vec{OA}$

Мы получили равенство $\vec{OA} = \vec{AA_1}$. Это означает, что векторы $\vec{OA}$ и $\vec{AA_1}$ равны, то есть они имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Геометрически это означает, что точка $A$ является серединой отрезка $OA_1$.

Таким образом, чтобы найти центр гомотетии $O$, нужно на прямой, проходящей через точки $A$ и $A_1$, отложить от точки $A$ в сторону, противоположную точке $A_1$, отрезок, равный по длине отрезку $AA_1$.

Это можно изобразить на схеме:

Ответ: Центр гомотетии $O$ — это такая точка на прямой $AA_1$, что точка $A$ является серединой отрезка $OA_1$. Другими словами, центр гомотетии $O$ — это точка, симметричная точке $A_1$ относительно точки $A$.

2.77. Постройте фигуры, гомотетичные данной фигуре:

1) окружности;

2) отрезку;

3) треугольнику;

4) четырехугольнику.

Центр и коэффициент гомотетии выберите сами.

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что вектор $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — фиксированная точка, называемая центром гомотетии, а $k$ — ненулевое число, называемое коэффициентом гомотетии.

Для построения фигуры, гомотетичной данной, необходимо построить образы ее ключевых точек (вершин, центра и т.д.), а затем соединить их. Для любой точки $A$ ее образ $A'$ лежит на прямой $OA$. Если $k > 0$, то $A'$ лежит на луче $OA$ на расстоянии $OA' = k \cdot OA$ от центра $O$. Если $k < 0$, то $A'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OA$, на расстоянии $OA' = |k| \cdot OA$.

1) окружности

Для построения окружности, гомотетичной данной, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера выберем коэффициент $k = 2$. Исходная окружность $\omega$ имеет центр $C$ и радиус $R$.
Построение:
1. Образом окружности при гомотетии является окружность.
2. Центр новой окружности $C'$ является образом центра исходной окружности $C$. Строим точку $C'$ на луче $OC$ так, что $OC' = k \cdot OC = 2 \cdot OC$.
3. Радиус новой окружности $R'$ равен $R' = |k| \cdot R = 2R$.
4. Строим новую окружность $\omega'$ с центром в точке $C'$ и радиусом $R'$.
На рисунке показано построение для центра гомотетии $O$, лежащего вне исходной окружности.

Ответ: Фигура, гомотетичная окружности, является окружностью. Ее центр — это образ центра исходной окружности, а ее радиус равен произведению радиуса исходной окружности на модуль коэффициента гомотетии.

2) отрезку

Для построения отрезка, гомотетичного данному отрезку $AB$, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера выберем $k = 1.5$.
Построение:
1. Образом отрезка $AB$ при гомотетии является отрезок $A'B'$.
2. Находим образы концов отрезка, точек $A$ и $B$.
3. Строим луч $OA$ и на нем откладываем точку $A'$ так, что $OA' = k \cdot OA = 1.5 \cdot OA$.
4. Аналогично строим луч $OB$ и на нем откладываем точку $B'$ так, что $OB' = k \cdot OB = 1.5 \cdot OB$.
5. Соединяем точки $A'$ и $B'$ и получаем искомый отрезок $A'B'$. Этот отрезок будет параллелен исходному отрезку $AB$, а его длина будет в $|k|$ раз больше.

Ответ: Фигура, гомотетичная отрезку, является отрезком, параллельным исходному. Его длина равна произведению длины исходного отрезка на модуль коэффициента гомотетии.

3) треугольнику

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера выберем $k = 2$.
Построение:
1. Образом треугольника $ABC$ при гомотетии является треугольник $A'B'C'$.
2. Находим образы вершин треугольника: $A$, $B$ и $C$.
3. Строим точку $A'$ на луче $OA$ так, что $OA' = k \cdot OA = 2 \cdot OA$.
4. Строим точку $B'$ на луче $OB$ так, что $OB' = k \cdot OB = 2 \cdot OB$.
5. Строим точку $C'$ на луче $OC$ так, что $OC' = k \cdot OC = 2 \cdot OC$.
6. Соединяем точки $A'$, $B'$ и $C'$ и получаем искомый треугольник $A'B'C'$. Этот треугольник подобен исходному.

Ответ: Фигура, гомотетичная треугольнику, является треугольником, подобным исходному.

4) четырехугольнику

Для построения четырехугольника, гомотетичного данному четырехугольнику $ABCD$, выберем центр гомотетии $O$ и коэффициент $k$. В качестве примера возьмем $k = -0.5$. Отрицательный коэффициент означает, что образ будет находиться с противоположной стороны от центра гомотетии и будет перевернут.
Построение:
1. Образом четырехугольника $ABCD$ при гомотетии является четырехугольник $A'B'C'D'$.
2. Находим образы вершин четырехугольника: $A$, $B$, $C$ и $D$.
3. Строим точку $A'$ на прямой $OA$ с противоположной стороны от $O$ так, что $OA' = |k| \cdot OA = 0.5 \cdot OA$.
4. Аналогично строим точки $B'$, $C'$, $D'$ на прямых $OB$, $OC$, $OD$.
5. Соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ последовательно и получаем искомый четырехугольник $A'B'C'D'$. Этот четырехугольник подобен исходному.

Ответ: Фигура, гомотетичная четырехугольнику, является четырехугольником, подобным исходному.

2.78. Можно ли найти центр гомотетии, если из соответствующих точек:

1) известна только одна пара;

2) известны две пары точек, не лежащих на одной прямой?

1) известна только одна пара

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Из этого определения следует, что точки $O$, $A$ и $A'$ лежат на одной прямой. Следовательно, если нам известна одна пара соответствующих точек $A$ и $A'$, то центр гомотетии $O$ должен лежать на прямой, проходящей через эти точки. Однако любая точка на прямой $AA'$ (за исключением некоторых особых случаев, например, самой точки $A$) может быть выбрана в качестве центра гомотетии. Для каждой такой точки $O$ можно найти соответствующий коэффициент $k$ как отношение длин направленных отрезков $k = OA'/OA$. Поскольку на прямой существует бесконечное множество точек, однозначно определить центр гомотетии по одной паре соответствующих точек невозможно.

Ответ: Нет, однозначно найти центр гомотетии по одной паре точек нельзя, так как он может быть любой точкой на прямой, соединяющей эти две точки (за исключением самих точек).

2) известны две пары точек, не лежащих на одной прямой

Пусть известны две пары соответствующих точек: точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$. Пусть $O$ — искомый центр гомотетии, а $k$ — её коэффициент. По определению гомотетии, точка $O$ должна лежать как на прямой $AA'$, так и на прямой $BB'$. Следовательно, центр гомотетии $O$ является точкой пересечения прямых $AA'$ и $BB'$.
Две различные прямые на плоскости пересекаются в единственной точке, если они не параллельны.
Условие "не лежащих на одной прямой" означает, что четыре точки $A, A', B, B'$ не коллинеарны. Это гарантирует, что прямые $AA'$ и $BB'$ не совпадают.
Рассмотрим, когда прямые $AA'$ и $BB'$ могут быть параллельны.Из свойств гомотетии следует, что $\vec{AA'} = (k-1)\vec{OA}$ и $\vec{BB'} = (k-1)\vec{OB}$.Прямые $AA'$ и $BB'$ будут параллельны, если коллинеарны векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$.
1. Если коэффициент гомотетии $k=1$, то преобразование является параллельным переносом. В этом случае $\vec{AA'} = \vec{BB'}$. Прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны (или совпадают, если $A, B$ на одной прямой с вектором переноса). У такого преобразования нет конечного центра гомотетии (иногда говорят, что центр находится в бесконечности). Этот случай возможен даже если точки $A, A', B, B'$ не лежат на одной прямой (например, если они образуют параллелограмм).
2. Если $k \neq 1$, то параллельность прямых $AA'$ и $BB'$ означает коллинеарность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Это возможно, только если точки $O, A, B$ лежат на одной прямой. Но тогда и соответствующие им точки $A'$ и $B'$ также лежат на этой прямой. Это означает, что все четыре точки $A, A', B, B'$ лежат на одной прямой, что противоречит условию задачи.
Таким образом, если гомотетия не является параллельным переносом, прямые $AA'$ и $BB'$ не параллельны и пересекаются в единственной точке, которая и является искомым центром.

Ответ: Да, можно, за исключением случая, когда преобразование является параллельным переносом (т.е. когда $\vec{AA'} = \vec{BB'}$). В этом особом случае прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны, и конечного центра гомотетии не существует. Во всех остальных случаях, удовлетворяющих условию, центр гомотетии находится однозначно как точка пересечения прямых $AA'$ и $BB'$.

2.79. Могут ли быть гомотетичными между собой:

1) две пересекающиеся прямые;

2) два луча, лежащих на пересекающихся прямых?

1) две пересекающиеся прямые

Предположим, что две различные пересекающиеся прямые $a$ и $b$ могут быть гомотетичны. Это означает, что существует преобразование гомотетии $H$ с некоторым центром $S$ и ненулевым коэффициентом $k$, такое, что образом прямой $a$ является прямая $b$, то есть $H(a) = b$.

Согласно одному из основных свойств гомотетии, образом любой прямой является прямая, параллельная исходной. Следовательно, если $H(a) = b$, то прямая $b$ должна быть параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$).

Однако по условию задачи прямые $a$ и $b$ пересекаются, что означает, что они не параллельны. Мы пришли к противоречию.

Единственный случай, когда образ прямой совпадает с ней самой — это когда прямая проходит через центр гомотетии. Но даже в этом случае, чтобы $H(a)$ стало равно $b$, необходимо, чтобы прямые $a$ и $b$ совпадали, что противоречит условию о двух различных пересекающихся прямых.

Таким образом, две различные пересекающиеся прямые не могут быть гомотетичными.

Ответ: Нет.

2) два луча, лежащих на пересекающихся прямых

Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$. На прямой $l_1$ расположен луч $r_1$, а на прямой $l_2$ — луч $r_2$. Предположим, что лучи $r_1$ и $r_2$ гомотетичны. Это значит, что существует гомотетия $H$ с центром $S$ и коэффициентом $k \neq 0$, такая что $H(r_1) = r_2$.

Возьмем две различные точки $A$ и $C$ на луче $r_1$. Их образами при гомотетии $H$ будут точки $B = H(A)$ и $D = H(C)$, которые должны лежать на луче $r_2$.

По определению гомотетии, вектор, соединяющий образы точек, связан с вектором, соединяющим сами точки, следующим соотношением: $\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$.

Вектор $\vec{AC}$ лежит на прямой $l_1$ (или параллелен ей), так как обе точки $A$ и $C$ принадлежат лучу $r_1$, который лежит на $l_1$. Аналогично, вектор $\vec{BD}$ лежит на прямой $l_2$ (или параллелен ей), так как точки $B$ и $D$ принадлежат лучу $r_2$, который лежит на $l_2$.

Из векторного равенства $\vec{BD} = k \cdot \vec{AC}$ следует, что векторы $\vec{BD}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны, то есть параллельны. А это, в свою очередь, означает, что прямые $l_1$ и $l_2$, на которых лежат эти векторы, также должны быть параллельны ($l_1 \parallel l_2$).

Это противоречит условию задачи, согласно которому прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются. Следовательно, наше начальное предположение было неверным.

Таким образом, два луча, лежащие на пересекающихся прямых, не могут быть гомотетичны.

Ответ: Нет.

2.80. Принимая за центр гомотетии одну из вершин данного треугольника, постройте гомотетичный ему треугольник с коэффициентом подобия, равным $2$.

Гомотетией с центром $O$ и коэффициентом $k$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Для построения треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$ с центром в одной из его вершин (например, в вершине $A$) и коэффициентом подобия $k=2$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбор центра гомотетии.
Пусть дан треугольник $ABC$. Выберем вершину $A$ в качестве центра гомотетии.

2. Построение образов вершин.
Нужно построить образы вершин $A, B, C$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k=2$. Обозначим образы как $A', B', C'$.
- Образ вершины A: Так как вершина $A$ является центром гомотетии, она переходит сама в себя. То есть, $A' = A$. Это следует из определения: $\vec{AA'} = 2 \cdot \vec{AA} = 2 \cdot \vec{0} = \vec{0}$.
- Образ вершины B: Для нахождения точки $B'$ строим вектор $\vec{AB'} = 2 \cdot \vec{AB}$. Это означает, что точка $B'$ лежит на луче $AB$, а расстояние $AB'$ вдвое больше расстояния $AB$. Для построения нужно продлить отрезок $AB$ за точку $B$ и отложить на этом продолжении отрезок $BB'$, равный отрезку $AB$. Точка $B'$ будет искомым образом.
- Образ вершины C: Аналогично, для нахождения точки $C'$ строим вектор $\vec{AC'} = 2 \cdot \vec{AC}$. Продлеваем отрезок $AC$ за точку $C$ и откладываем на продолжении отрезок $CC'$, равный отрезку $AC$. Точка $C'$ будет образом точки $C$.

3. Построение искомого треугольника.
Соединяем полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Так как $A' = A$, искомый треугольник — это $\triangle AB'C'$.

Ниже представлен чертеж, иллюстрирующий построение. Синим цветом показан исходный треугольник $ABC$, а красным — построенный гомотетичный треугольник $AB'C'$.

Полученный треугольник $AB'C'$ подобен исходному треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия 2. Его стороны параллельны соответствующим сторонам исходного треугольника ($B'C' \parallel BC$) и в два раза длиннее их ($AB' = 2 \cdot AB$, $AC' = 2 \cdot AC$, $B'C' = 2 \cdot BC$).

Ответ:
Для построения гомотетичного треугольника с центром в вершине $A$ данного треугольника $ABC$ и коэффициентом $k=2$, необходимо:
1. На луче $AB$ отложить точку $B'$ так, чтобы $AB' = 2 \cdot AB$.
2. На луче $AC$ отложить точку $C'$ так, чтобы $AC' = 2 \cdot AC$.
3. Соединить точки $A$, $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $AB'C'$ является искомым.

2.81. Даны точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте фигуру, подобную данной фигуре с коэффициентом подобия, равным:

а) 3;

б) 0,5.

Поскольку точки А, В и С не лежат на одной прямой, они образуют треугольник ABC. Задача состоит в построении треугольника A'B'C', подобного треугольнику ABC с заданным коэффициентом подобия $k$. Для этого используется геометрическое преобразование, называемое гомотетией или преобразованием подобия.

а) Построение фигуры с коэффициентом подобия $k=3$

Чтобы построить фигуру, подобную треугольнику ABC с коэффициентом $k=3$, выполним следующие шаги:

1. Выберем произвольную точку O, которая будет центром гомотетии. Её можно расположить в любом месте на плоскости (внутри, вне или на стороне треугольника). Для наглядности на рисунке ниже центр O выбран вне треугольника ABC.

2. Из центра O проведём лучи через каждую вершину треугольника: OA, OB и OC.

3. На каждом луче отложим от точки O новый отрезок, длина которого в 3 раза больше исходного. Так мы получим новые точки A', B' и C':
$OA' = 3 \cdot OA$
$OB' = 3 \cdot OB$
$OC' = 3 \cdot OC$
Точки A, B, C будут лежать на отрезках OA', OB', OC' соответственно.

4. Соединим точки A', B' и C' отрезками. Полученный треугольник A'B'C' и есть искомая фигура, подобная треугольнику ABC с коэффициентом 3.

Ответ: Искомая фигура — это треугольник A'B'C', полученный в результате гомотетии треугольника ABC с произвольно выбранным центром O и коэффициентом $k=3$.

б) Построение фигуры с коэффициентом подобия $k=0,5$

Построение аналогично предыдущему пункту, но с коэффициентом $k=0,5$.

1. Выберем произвольную точку O — центр гомотетии. Для наглядности на этот раз расположим её внутри треугольника ABC.

2. Соединим центр O отрезками с каждой вершиной треугольника: OA, OB и OC.

3. На каждом из этих отрезков найдем точки A', B' и C' так, чтобы их расстояние до центра O было равно половине расстояния от O до соответствующей вершины исходного треугольника. Фактически, новые точки будут серединами отрезков OA, OB и OC.
$OA' = 0,5 \cdot OA$
$OB' = 0,5 \cdot OB$
$OC' = 0,5 \cdot OC$

4. Соединим точки A', B' и C'. Полученный треугольник A'B'C' будет подобен треугольнику ABC с коэффициентом 0,5.

Ответ: Искомая фигура — это треугольник A'B'C', полученный в результате гомотетии треугольника ABC с произвольно выбранным центром O и коэффициентом $k=0,5$.

2.82. Докажите, что две концентрические окружности радиусами, равными 2 и 4, подобны и определите коэффициент подобия.

Две геометрические фигуры называются подобными, если одна может быть получена из другой с помощью преобразования подобия. Одним из видов такого преобразования является гомотетия (растяжение или сжатие относительно центра). Докажем, что данные окружности подобны, показав, что одна переходит в другую при гомотетии.

Пусть у нас есть две концентрические окружности с общим центром в точке $O$. Обозначим меньшую окружность как $C_1$ с радиусом $r_1 = 2$, а большую окружность как $C_2$ с радиусом $r_2 = 4$.

Рассмотрим преобразование гомотетии с центром в точке $O$ и некоторым коэффициентом $k$. По определению, это преобразование переводит любую точку $M$ в точку $M'$ так, что вектор $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Это означает, что точки $O$, $M$ и $M'$ лежат на одной прямой, а расстояние от центра до новой точки равно $|OM'| = |k| \cdot |OM|$.

Возьмем произвольную точку $M$ на окружности $C_1$. Для нее расстояние до центра $|OM| = r_1 = 2$. Мы хотим найти такой коэффициент $k$, чтобы точка $M'$ попала на окружность $C_2$. Для этого расстояние $|OM'|$ должно быть равно $r_2 = 4$.

Подставим известные значения в формулу гомотетии: $r_2 = |k| \cdot r_1$ $4 = |k| \cdot 2$ $|k| = \frac{4}{2} = 2$

Выберем положительный коэффициент $k=2$. Тогда гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k=2$ переводит каждую точку $M$ окружности $C_1$ в точку $M'$, которая удалена от центра $O$ на расстояние $2 \cdot 2 = 4$. Множество всех таких точек $M'$ образует окружность с центром $O$ и радиусом 4, то есть окружность $C_2$.

Поскольку одна окружность может быть получена из другой путем преобразования подобия (гомотетии), эти окружности подобны.

Коэффициент подобия по определению равен отношению длин соответствующих линейных элементов. В случае окружностей это отношение их радиусов (или длин окружностей).

Коэффициент подобия, который переводит окружность $C_1$ в $C_2$, равен: $k = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4}{2} = 2$.

Если рассматривать преобразование, переводящее большую окружность в меньшую, то коэффициент подобия будет обратной величиной: $k' = \frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба значения, 2 и 0.5, являются корректными коэффициентами подобия для данной пары окружностей.

Ответ: Доказательство основано на существовании преобразования гомотетии с центром в общем центре окружностей, которое переводит одну окружность в другую. Коэффициент подобия равен отношению их радиусов: $k = 4/2 = 2$ (или $k = 2/4 = 0.5$).

2.83. Треугольники $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ подобны. Найдите $\angle A_1$ и $A_1 B_1$, если $\angle A=30^\circ$, $AB=1$ м, $BC=2$ м, $B_1 C_1=3$ м?

Поскольку треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $), их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

∠A₁

В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Угол $A$ в треугольнике $ABC$ соответствует углу $A_1$ в треугольнике $A_1B_1C_1$. Следовательно, $\angle A_1 = \angle A$. По условию задачи $\angle A = 30°$, значит, и $\angle A_1 = 30°$.

Ответ: $\angle A_1 = 30°$.

A₁B₁

В подобных треугольниках отношение длин соответствующих сторон равно коэффициенту подобия $k$.

$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{A_1C_1}{AC} = k$

Найдем коэффициент подобия $k$, используя известные длины сторон $BC$ и $B_1C_1$:

$k = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{3 \text{ м}}{2 \text{ м}} = 1.5$

Теперь, зная коэффициент подобия и длину стороны $AB = 1$ м, мы можем найти длину стороны $A_1B_1$:

$A_1B_1 = AB \cdot k = 1 \text{ м} \cdot 1.5 = 1.5 \text{ м}$

Ответ: $A_1B_1 = 1.5 \text{ м}$.

2.84. Докажите, что два равнобедренных треугольника подобны, если углы при вершинах равны.

Дано:
$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — равнобедренные треугольники.
В $\triangle ABC$ боковые стороны $AB = BC$, основание $AC$, угол при вершине $\angle B$.
В $\triangle A_1B_1C_1$ боковые стороны $A_1B_1 = B_1C_1$, основание $A_1C_1$, угол при вершине $\angle B_1$.
По условию, углы при вершинах равны: $\angle B = \angle B_1$.

Доказать:
$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Доказательство можно провести, используя признаки подобия треугольников. Рассмотрим два способа.

Способ 1. По первому признаку подобия (по двум углам).
1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, в $\triangle ABC$ имеем $\angle A = \angle C$, а в $\triangle A_1B_1C_1$ имеем $\angle A_1 = \angle C_1$.
2. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Используем это свойство для нахождения углов при основании.
Для $\triangle ABC$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Так как $\angle A = \angle C$, то $2\angle A + \angle B = 180^\circ$. Отсюда $\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2}$.
Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle A_1 = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2}$.
3. По условию задачи дано, что углы при вершинах равны: $\angle B = \angle B_1$.
4. Из этого следует, что углы при основании этих треугольников также равны между собой: $\angle A = \frac{180^\circ - \angle B}{2} = \frac{180^\circ - \angle B_1}{2} = \angle A_1$.
5. Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ есть две пары равных углов: $\angle B = \angle B_1$ (по условию) и $\angle A = \angle A_1$ (как мы только что доказали).
6. Согласно первому признаку подобия, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны. Следовательно, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Способ 2. По второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).
1. По условию, углы при вершинах равны: $\angle B = \angle B_1$.
2. В равнобедренном $\triangle ABC$ стороны, образующие этот угол, равны друг другу: $AB = BC$.
3. Аналогично, в равнобедренном $\triangle A_1B_1C_1$ стороны, образующие угол $\angle B_1$, равны: $A_1B_1 = B_1C_1$.
4. Проверим пропорциональность сторон, прилежащих к равным углам. Составим отношения длин соответствующих сторон: $\frac{AB}{A_1B_1}$ и $\frac{BC}{B_1C_1}$.
5. Поскольку $AB=BC$ и $A_1B_1=B_1C_1$, то очевидно, что $\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1}$.
6. Таким образом, мы имеем две пары пропорциональных сторон и равный угол между ними ($\angle B = \angle B_1$). По второму признаку подобия треугольников, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

Оба способа приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: Утверждение доказано. Два равнобедренных треугольника являются подобными, если равны их углы при вершинах.

2.85. У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах. Основание одного из треугольников равно 8 см. Найдите боковую сторону этого треугольника, если боковая сторона и основание другого треугольника равны 17 см и 10 см соответственно.

Обозначим первый равнобедренный треугольник как $T_1$, а второй — как $T_2$.

Для треугольника $T_1$ нам дано основание $a_1 = 8$ см. Его боковые стороны равны, обозначим их длину как $b_1$. Эту величину нам и нужно найти.

Для треугольника $T_2$ нам даны основание $a_2 = 10$ см и боковая сторона $b_2 = 17$ см.

По условию задачи, углы при вершинах у этих двух равнобедренных треугольников равны. Обозначим этот угол как $\alpha$. Угол при вершине в равнобедренном треугольнике — это угол, противолежащий основанию и образованный двумя равными боковыми сторонами.

Поскольку треугольники $T_1$ и $T_2$ равнобедренные, углы при их основаниях также равны. Для любого равнобедренного треугольника с углом при вершине $\alpha$ каждый из углов при основании будет равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2}$. Так как углы при вершинах у $T_1$ и $T_2$ равны, то и углы при их основаниях также соответственно равны.

Таким образом, все три угла треугольника $T_1$ соответственно равны трем углам треугольника $T_2$. Следовательно, треугольники $T_1$ и $T_2$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Составим пропорцию, приравняв отношение боковых сторон к отношению оснований:
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2} $

Подставим известные значения в эту пропорцию:
$ \frac{b_1}{17} = \frac{8}{10} $

Выразим из этого уравнения неизвестную боковую сторону $b_1$:
$ b_1 = 17 \cdot \frac{8}{10} = 17 \cdot 0.8 = 13.6 $

Боковая сторона первого треугольника равна 13,6 см.
Ответ: 13,6 см.