Страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.96. Подобны ли друг другу равносторонние треугольники?

Да, любые два равносторонних треугольника подобны друг другу. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться любым из признаков подобия треугольников.
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, и, как следствие, все углы равны $60^\circ$.
Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника, $\triangle ABC$ со стороной $a$ и $\triangle A_1B_1C_1$ со стороной $a_1$.

Доказательство по первому признаку подобия (по двум углам):
В любом равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.В $\triangle ABC$: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.
В $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 60^\circ$.
Поскольку соответственные углы этих треугольников равны (например, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$), то по признаку подобия по двум углам треугольники подобны.

Доказательство по третьему признаку подобия (по трём сторонам):
В $\triangle ABC$ все стороны равны $a$: $AB = BC = CA = a$.
В $\triangle A_1B_1C_1$ все стороны равны $a_1$: $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = a_1$.
Найдём отношение длин соответственных сторон:$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{a}{a_1} $
Так как отношение длин всех соответственных сторон постоянно (равно коэффициенту подобия $k=\frac{a}{a_1}$), то стороны треугольников пропорциональны, и по третьему признаку подобия треугольники подобны.

Таким образом, поскольку для любой пары равносторонних треугольников выполняются признаки подобия, все равносторонние треугольники подобны друг другу.
Ответ: Да, подобны.

2.97. В заданном треугольнике проведены все средние линии. Покажите среди образованных таким образом треугольников подобные.

Пусть дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Проведем в нем все три средние линии. Пусть точки $D$, $E$ и $F$ являются серединами сторон $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Средние линии $DE$, $EF$ и $FD$ делят исходный треугольник $\triangle ABC$ на четыре меньших треугольника: $\triangle ADF$, $\triangle DBE$, $\triangle FEC$ и центральный треугольник $\triangle DEF$.

Чтобы определить, какие из этих треугольников подобны, мы воспользуемся свойством средней линии треугольника. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине.

1. Рассмотрим $\triangle ADF$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $D$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $AC$ соответственно, то $AD = \frac{1}{2}AB$ и $AF = \frac{1}{2}AC$.
• Следовательно, отношения сторон, прилежащих к общему углу, равны: $\frac{AD}{AB} = \frac{AF}{AC} = \frac{1}{2}$.
• По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle ADF \sim \triangle ABC$.

2. Рассмотрим $\triangle DBE$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $D$ и $E$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно, то $BD = \frac{1}{2}AB$ и $BE = \frac{1}{2}BC$.
• Отношения сторон, прилежащих к общему углу, равны: $\frac{BD}{AB} = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{2}$.
• По второму признаку подобия треугольников, $\triangle DBE \sim \triangle ABC$.

3. Рассмотрим $\triangle FEC$ и $\triangle ABC$.

• Угол $\angle C$ является общим для обоих треугольников.
• Так как $F$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, то $FC = \frac{1}{2}AC$ и $EC = \frac{1}{2}BC$.
• Отношения сторон, прилежащих к общему углу, равны: $\frac{FC}{AC} = \frac{EC}{BC} = \frac{1}{2}$.
• По второму признаку подобия треугольников, $\triangle FEC \sim \triangle ABC$.

4. Рассмотрим $\triangle DEF$ и $\triangle ABC$.

• Стороны треугольника $\triangle DEF$ являются средними линиями треугольника $\triangle ABC$.
• По свойству средней линии: $DF = \frac{1}{2}BC$, $DE = \frac{1}{2}AC$ и $EF = \frac{1}{2}AB$.
• Найдем отношения длин всех трёх сторон: $\frac{DF}{BC} = \frac{DE}{AC} = \frac{EF}{AB} = \frac{1}{2}$.
• По третьему признаку подобия треугольников (по трём пропорциональным сторонам), $\triangle DEF \sim \triangle CBA$ (или $\triangle FDE \sim \triangle ABC$).

Поскольку все четыре малых треугольника ($\triangle ADF$, $\triangle DBE$, $\triangle FEC$ и $\triangle DEF$) подобны одному и тому же треугольнику $\triangle ABC$, они подобны и друг другу (по свойству транзитивности подобия). Коэффициент подобия каждого малого треугольника по отношению к исходному равен $\frac{1}{2}$.

Ответ: Все четыре треугольника, образованные средними линиями, подобны друг другу, а также исходному треугольнику.

2.98. Подобны ли два треугольника, если их стороны равны:

1) 1,2 м, 1,6 м, 2,4 м и 3 см, 4 см, 6 см;

2) 0,5 м, 0,6 м, 1 м и 10 см, 12 см, 15 см;

3) 1 м, 1,5 м, 2 м и 10 см, 15 см, 20 см;

4) 4 м, 40 м, 40 м и 4 см, 40 см, 40 см?

Два треугольника подобны по третьему признаку (по трем сторонам), если их соответственные стороны пропорциональны. Чтобы проверить это, для каждой пары треугольников необходимо привести длины всех сторон к единой единице измерения, упорядочить стороны по возрастанию и вычислить отношения длин соответственных сторон. Если все отношения равны, то треугольники подобны.

1) 1,2 м, 1,6 м, 2,4 м и 3 см, 4 см, 6 см

Стороны первого треугольника: 1,2 м, 1,6 м, 2,4 м.
Стороны второго треугольника: 3 см, 4 см, 6 см.
Приведем все размеры к сантиметрам (в 1 метре 100 сантиметров).
Стороны первого треугольника в сантиметрах: $1,2 \cdot 100 = 120$ см, $1,6 \cdot 100 = 160$ см, $2,4 \cdot 100 = 240$ см.
Теперь сравним отношения соответственных сторон, предварительно упорядочив их по возрастанию:
Первый треугольник: 120 см, 160 см, 240 см.
Второй треугольник: 3 см, 4 см, 6 см.
Найдем отношения:
$\frac{120}{3} = 40$
$\frac{160}{4} = 40$
$\frac{240}{6} = 40$
Так как отношения всех соответственных сторон равны 40, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

2) 0,5 м, 0,6 м, 1 м и 10 см, 12 см, 15 см

Стороны первого треугольника: 0,5 м, 0,6 м, 1 м.
Стороны второго треугольника: 10 см, 12 см, 15 см.
Приведем все размеры к сантиметрам.
Стороны первого треугольника в сантиметрах: $0,5 \cdot 100 = 50$ см, $0,6 \cdot 100 = 60$ см, $1 \cdot 100 = 100$ см.
Упорядочим стороны по возрастанию:
Первый треугольник: 50 см, 60 см, 100 см.
Второй треугольник: 10 см, 12 см, 15 см.
Найдем отношения соответственных сторон:
$\frac{50}{10} = 5$
$\frac{60}{12} = 5$
$\frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6,67$
Так как $5 \neq \frac{20}{3}$, отношения сторон не равны, следовательно, треугольники не подобны.
Ответ: нет, не подобны.

3) 1 м, 1,5 м, 2 м и 10 см, 15 см, 20 см

Стороны первого треугольника: 1 м, 1,5 м, 2 м.
Стороны второго треугольника: 10 см, 15 см, 20 см.
Приведем все размеры к сантиметрам.
Стороны первого треугольника в сантиметрах: $1 \cdot 100 = 100$ см, $1,5 \cdot 100 = 150$ см, $2 \cdot 100 = 200$ см.
Упорядочим стороны по возрастанию:
Первый треугольник: 100 см, 150 см, 200 см.
Второй треугольник: 10 см, 15 см, 20 см.
Найдем отношения соответственных сторон:
$\frac{100}{10} = 10$
$\frac{150}{15} = 10$
$\frac{200}{20} = 10$
Так как отношения всех соответственных сторон равны 10, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

4) 4 м, 40 м, 40 м и 4 см, 40 см, 40 см

Стороны первого треугольника: 4 м, 40 м, 40 м.
Стороны второго треугольника: 4 см, 40 см, 40 см.
Приведем все размеры к сантиметрам.
Стороны первого треугольника в сантиметрах: $4 \cdot 100 = 400$ см, $40 \cdot 100 = 4000$ см, $40 \cdot 100 = 4000$ см.
Упорядочим стороны по возрастанию (в данном случае треугольники равнобедренные, поэтому порядок соответствия очевиден):
Первый треугольник: 400 см, 4000 см, 4000 см.
Второй треугольник: 4 см, 40 см, 40 см.
Найдем отношения соответственных сторон:
$\frac{400}{4} = 100$
$\frac{4000}{40} = 100$
$\frac{4000}{40} = 100$
Так как отношения всех соответственных сторон равны 100, треугольники подобны.
Ответ: да, подобны.

2.99. Покажите истинность или неправильность нижеуказанных предложений:

1) треугольники, соответствующие стороны которых параллельны, являются подобными;

2) треугольники, соответствующие стороны которых перпендикулярны, являются подобными;

3) два равнобедренных треугольника, углы при вершинах которых равны, являются подобными;

4) два равнобедренных треугольника, имеющих равные между собой углы, подобны;

5) два равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны, подобны;

6) два прямоугольных равнобедренных треугольника являются подобными;

7) два прямоугольных треугольника, острые углы которых равны, являются подобными;

8) любые два прямоугольных треугольника подобны.

1) треугольники, соответственные стороны которых параллельны, являются подобными

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых соответственные стороны параллельны: $AB \parallel A'B'$, $BC \parallel B'C'$, $AC \parallel A'C'$. Углы, образованные соответственно параллельными сторонами, равны. Угол $\angle A$ образован сторонами $AB$ и $AC$. Угол $\angle A'$ образован сторонами $A'B'$ и $A'C'$. Так как $AB \parallel A'B'$ и $AC \parallel A'C'$, то $\angle A = \angle A'$. Аналогично, $\angle B = \angle B'$ и $\angle C = \angle C'$. Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны по первому признаку подобия (по трем углам).

Ответ: утверждение истинно.

2) треугольники, соответственные стороны которых перпендикулярны, являются подобными

Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых соответственные стороны перпендикулярны: $AB \perp A'B'$, $BC \perp B'C'$, $AC \perp A'C'$. Углы, образованные соответственно перпендикулярными сторонами, равны. Угол $\angle A$ образован сторонами $AB$ и $AC$. Угол $\angle A'$ образован сторонами $A'B'$ и $A'C'$. Так как $AB \perp A'B'$ и $AC \perp A'C'$, то $\angle A = \angle A'$. Аналогично, $\angle B = \angle B'$ и $\angle C = \angle C'$. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ подобны по первому признаку подобия (по трем углам).

Ответ: утверждение истинно.

3) два равнобедренных треугольника, углы при вершинах которых равны, являются подобными

Пусть даны два равнобедренных треугольника, $\triangle ABC$ с основанием $BC$ и $\triangle A'B'C'$ с основанием $B'C'$. Угол при вершине в $\triangle ABC$ — это $\angle A$, а в $\triangle A'B'C'$ — это $\angle A'$. По условию, $\angle A = \angle A'$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Для $\triangle ABC$ имеем $\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - \angle A}{2}$. Аналогично для $\triangle A'B'C'$ имеем $\angle B' = \angle C' = \frac{180^\circ - \angle A'}{2}$. Поскольку $\angle A = \angle A'$, то и углы при основании у этих треугольников будут равны: $\angle B = \angle B'$ и $\angle C = \angle C'$. Таким образом, все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого, следовательно, треугольники подобны по первому признаку подобия.

Ответ: утверждение истинно.

4) два равнобедренных треугольника, имеющих равные между собой углы, подобны

Это утверждение не всегда верно. Рассмотрим контрпример. Пусть первый равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ имеет углы $70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$. Здесь угол при вершине равен $40^\circ$, а углы при основании — $70^\circ$. Пусть второй равнобедренный треугольник $\triangle A'B'C'$ имеет угол при вершине, равный $70^\circ$. Тогда углы при его основании будут равны $\frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ$. То есть углы второго треугольника — $70^\circ, 55^\circ, 55^\circ$. Оба треугольника являются равнобедренными и имеют равный угол ($70^\circ$), но наборы их углов ($70^\circ, 70^\circ, 40^\circ$ и $70^\circ, 55^\circ, 55^\circ$) не совпадают. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Ответ: утверждение неправильно.

5) два равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны, подобны

Пусть даны два равнобедренных треугольника, $\triangle ABC$ с основанием $BC$ и $\triangle A'B'C'$ с основанием $B'C'$. Углы при основании в $\triangle ABC$ — это $\angle B$ и $\angle C$, а в $\triangle A'B'C'$ — это $\angle B'$ и $\angle C'$. По условию, $\angle B = \angle B'$. Так как треугольники равнобедренные, то $\angle C = \angle B$ и $\angle C' = \angle B'$. Следовательно, $\angle C = \angle C'$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Угол при вершине $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - 2\angle B$. Аналогично, $\angle A' = 180^\circ - 2\angle B'$. Поскольку $\angle B = \angle B'$, то и $\angle A = \angle A'$. Таким образом, все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого, и треугольники подобны по первому признаку подобия.

Ответ: утверждение истинно.

6) два прямоугольных равнобедренных треугольника являются подобными

В прямоугольном равнобедренном треугольнике один угол прямой ($90^\circ$), а два других — острые. Так как треугольник равнобедренный, его острые углы равны между собой. Пусть острый угол равен $\alpha$. Тогда $90^\circ + \alpha + \alpha = 180^\circ$, откуда $2\alpha = 90^\circ$, и $\alpha = 45^\circ$. Таким образом, любой прямоугольный равнобедренный треугольник имеет углы $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Поскольку все такие треугольники имеют одинаковые углы, любые два из них подобны по первому признаку подобия.

Ответ: утверждение истинно.

7) два прямоугольных треугольника, острые углы которых равны, являются подобными

Утверждение следует понимать так: если один острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то треугольники подобны. Пусть $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ — два прямоугольных треугольника, где $\angle C = \angle C' = 90^\circ$. Пусть один из их острых углов равен, например, $\angle A = \angle A'$. Тогда у нас есть два треугольника, у которых равны две пары углов: $\angle C = \angle C' = 90^\circ$ и $\angle A = \angle A'$. По признаку подобия по двум углам (AA), эти треугольники подобны. (Третья пара углов также будет равна: $\angle B = 90^\circ - \angle A$ и $\angle B' = 90^\circ - \angle A'$, так что $\angle B = \angle B'$).

Ответ: утверждение истинно.

8) любые два прямоугольных треугольника подобны

Это утверждение неверно. Все прямоугольные треугольники имеют один одинаковый угол — $90^\circ$. Однако для подобия необходимо, чтобы были равны и острые углы. Приведем контрпример. Первый треугольник — прямоугольный равнобедренный, его углы равны $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$. Второй треугольник — прямоугольный с углами $90^\circ, 30^\circ, 60^\circ$ (половина равностороннего треугольника). Оба треугольника являются прямоугольными, но их острые углы не равны. Следовательно, эти треугольники не подобны.

Ответ: утверждение неправильно.

2.100. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен $40^\circ$, а острый угол другого прямоугольного треугольника равен:

1) $50^\circ$;

2) $60^\circ$?

Два прямоугольных треугольника подобны, если у них есть по равному острому углу. Это следует из первого признака подобия треугольников (по двум углам), так как один угол у них уже равен $90^\circ$.

Сначала найдем все углы первого прямоугольного треугольника. По условию, один его угол прямой ($90^\circ$), а один из острых углов равен $40^\circ$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, второй острый угол будет равен:$180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.Таким образом, углы первого треугольника равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.

1) Рассмотрим второй прямоугольный треугольник, у которого острый угол равен $50^\circ$.Найдем второй острый угол этого треугольника:$180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.Углы второго треугольника равны $40^\circ, 50^\circ, 90^\circ$.Поскольку все углы первого треугольника соответственно равны углам второго треугольника, эти треугольники подобны.

Ответ: да, подобны.

2) Рассмотрим второй прямоугольный треугольник, у которого острый угол равен $60^\circ$.Найдем второй острый угол этого треугольника:$180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.Углы этого треугольника равны $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$.Острые углы первого треугольника ($40^\circ$ и $50^\circ$) не равны острым углам второго треугольника ($30^\circ$ и $60^\circ$). Следовательно, эти треугольники не подобны.

Ответ: нет, не подобны.

2.101. Подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, если в этих треугольниках:

1) $\angle A=36^\circ$, $\angle B=34^\circ$, $\angle E=110^\circ$, $\angle F=34^\circ$;

2) $AC=44$ см, $AB=52$ см, $BC=76$ см, $DE=15,6$ см, $DF=22$ см, $EF=13,2$ см?

1) Для того чтобы определить, подобны ли треугольники $ABC$ и $DEF$, воспользуемся признаком подобия треугольников по двум углам. Согласно этому признаку, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Сначала найдем величину третьего угла в каждом треугольнике, зная, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

Для треугольника $ABC$ известны углы $\angle A = 36^\circ$ и $\angle B = 34^\circ$. Найдем угол $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (36^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $ABC$ равны $36^\circ, 34^\circ, 110^\circ$.

Для треугольника $DEF$ известны углы $\angle E = 110^\circ$ и $\angle F = 34^\circ$. Найдем угол $D$:
$\angle D = 180^\circ - (\angle E + \angle F) = 180^\circ - (110^\circ + 34^\circ) = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$.
Таким образом, углы треугольника $DEF$ равны $36^\circ, 110^\circ, 34^\circ$.

Теперь сравним наборы углов обоих треугольников:
Углы $\triangle ABC$: $\{36^\circ, 34^\circ, 110^\circ\}$
Углы $\triangle DEF$: $\{36^\circ, 34^\circ, 110^\circ\}$
Мы видим, что углы одного треугольника равны соответствующим углам другого: $\angle A = \angle D = 36^\circ$, $\angle B = \angle F = 34^\circ$ и $\angle C = \angle E = 110^\circ$.
Поскольку у треугольников есть по две (и даже три) пары равных углов, они подобны по первому признаку подобия.

Ответ: да, треугольники подобны.

2) Для определения подобия треугольников по известным длинам их сторон воспользуемся третьим признаком подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Чтобы проверить пропорциональность сторон, необходимо сопоставить стороны одного треугольника со сторонами другого. В подобных треугольниках наименьшая сторона одного треугольника соответствует наименьшей стороне другого, средняя - средней, а наибольшая - наибольшей. Расположим стороны каждого треугольника в порядке возрастания их длин.

Стороны треугольника $ABC$: $AC=44$ см, $AB=52$ см, $BC=76$ см.
В порядке возрастания: $44 < 52 < 76$.

Стороны треугольника $DEF$: $DE=15.6$ см, $DF=22$ см, $EF=13.2$ см.
В порядке возрастания: $13.2 < 15.6 < 22$.

Теперь проверим, равны ли отношения длин соответствующих сторон. Найдем коэффициент подобия $k$, разделив длины сторон $\triangle ABC$ на соответствующие длины сторон $\triangle DEF$.

Отношение наименьших сторон: $\frac{AC}{EF} = \frac{44}{13.2} = \frac{440}{132} = \frac{110 \times 4}{33 \times 4} = \frac{110}{33} = \frac{10 \times 11}{3 \times 11} = \frac{10}{3}$.

Отношение средних сторон: $\frac{AB}{DE} = \frac{52}{15.6} = \frac{520}{156} = \frac{130 \times 4}{39 \times 4} = \frac{130}{39} = \frac{10 \times 13}{3 \times 13} = \frac{10}{3}$.

Отношение наибольших сторон: $\frac{BC}{DF} = \frac{76}{22} = \frac{38 \times 2}{11 \times 2} = \frac{38}{11}$.

Сравним полученные отношения:
$\frac{10}{3} = \frac{10}{3}$, но $\frac{10}{3} \neq \frac{38}{11}$ (поскольку $10 \times 11 = 110$, а $3 \times 38 = 114$).
Так как не все три отношения равны, стороны треугольников не пропорциональны.

Ответ: нет, треугольники не подобны.

2.102. Разделите отрезок $AB$ в отношении:

1) $2:5$;

2) $3:7$;

3) $4:3$.

1)

Чтобы разделить отрезок $AB$ в отношении $2:5$, необходимо выполнить следующие построения, основанные на теореме Фалеса:

1. Из точки $A$ провести произвольный луч $c$, не лежащий на прямой $AB$.

2. На луче $c$ отложить от точки $A$ $2+5=7$ равных отрезков произвольной длины. Обозначить концы этих отрезков точками $C_1, C_2, \ldots, C_7$.

3. Соединить точку $C_7$ с точкой $B$.

4. Через точку $C_2$ (соответствующую первому числу в отношении) провести прямую, параллельную отрезку $C_7B$.

Точка $D$, в которой построенная прямая пересекает отрезок $AB$, и является искомой точкой, так как по теореме о пропорциональных отрезках $AD:DB = AC_2:C_2C_7 = 2:5$.

Ответ: Построение выполнено. Точка $D$ делит отрезок $AB$ в отношении $2:5$.

2)

Чтобы разделить отрезок $AB$ в отношении $3:7$, выполним следующие построения:

1. Из точки $A$ провести произвольный луч $c$, не лежащий на прямой $AB$.

2. На луче $c$ отложить от точки $A$ $3+7=10$ равных отрезков произвольной длины. Обозначить концы этих отрезков точками $C_1, C_2, \ldots, C_{10}$.

3. Соединить точку $C_{10}$ с точкой $B$.

4. Через точку $C_3$ провести прямую, параллельную отрезку $C_{10}B$.

Точка $D$, в которой построенная прямая пересекает отрезок $AB$, делит его в отношении $AD:DB = AC_3:C_3C_{10} = 3:7$.

Ответ: Построение выполнено. Точка $D$ делит отрезок $AB$ в отношении $3:7$.

3)

Чтобы разделить отрезок $AB$ в отношении $4:3$, выполним следующие построения:

1. Из точки $A$ провести произвольный луч $c$, не лежащий на прямой $AB$.

2. На луче $c$ отложить от точки $A$ $4+3=7$ равных отрезков произвольной длины. Обозначить концы этих отрезков точками $C_1, C_2, \ldots, C_7$.

3. Соединить точку $C_7$ с точкой $B$.

4. Через точку $C_4$ провести прямую, параллельную отрезку $C_7B$.

Точка $D$, в которой построенная прямая пересекает отрезок $AB$, делит его в отношении $AD:DB = AC_4:C_4C_7 = 4:3$.

Ответ: Построение выполнено. Точка $D$ делит отрезок $AB$ в отношении $4:3$.

2.103. Докажите, что с помощью прямой, пересекающей две стороны неравнобедренного треугольника и не являющейся параллельной его третьей стороне, можно отсечь треугольник, подобный данному треугольнику.

Пусть дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Так как треугольник неравнобедренный, все его стороны и углы различны: $a \neq b$, $b \neq c$, $a \neq c$, и, соответственно, $\angle A \neq \angle B$, $\angle B \neq \angle C$, $\angle A \neq \angle C$.

Рассмотрим прямую, которая пересекает две стороны треугольника, например, $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Эта прямая отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $AMN$. Нам нужно доказать, что можно так провести эту прямую, чтобы $\triangle AMN$ был подобен $\triangle ABC$, и при этом прямая $MN$ не была параллельна стороне $BC$.

Треугольник $AMN$ имеет общий угол $A$ с треугольником $ABC$. Для того чтобы треугольники были подобны, их углы должны быть соответственно равны. Рассмотрим возможные варианты соответствия углов.

1. $\triangle AMN \sim \triangle ABC$. В этом случае $\angle AMN = \angle ABC$ и $\angle ANM = \angle ACB$. Равенство соответственных углов $\angle AMN = \angle ABC$ означает, что прямая $MN$ параллельна прямой $BC$. Этот случай исключен условием задачи.

2. $\triangle AMN \sim \triangle ACB$. В этом случае углы должны соответствовать так: $\angle MAN = \angle CAB$ (что верно, так как это общий угол), $\angle AMN = \angle ACB$ и $\angle ANM = \angle ABC$.

Давайте докажем, что можно построить такой треугольник $AMN$. Подобие $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ имеет место, если, помимо равенства углов при вершине $A$, выполняется пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB} $Используя обозначения длин сторон, $AC=b$ и $AB=c$, получим:$ \frac{AM}{b} = \frac{AN}{c} $Мы должны показать, что существуют такие точки $M$ на отрезке $AB$ и $N$ на отрезке $AC$, для которых это равенство выполняется.

Выберем точку $M$ на стороне $AB$. Длина отрезка $AM$ может принимать любое значение $x$ такое, что $0 < x < c$. Тогда, чтобы выполнялось условие пропорциональности, длина отрезка $AN$ должна быть $y = x \cdot \frac{c}{b}$.Для того чтобы точка $N$ лежала на отрезке $AC$, необходимо, чтобы выполнялось условие $0 < AN < b$, то есть $0 < y < b$.Подставим выражение для $y$: $x \cdot \frac{c}{b} < b$, откуда $x < \frac{b^2}{c}$.

Таким образом, нам нужно выбрать положение точки $M$ так, чтобы длина отрезка $AM = x$ удовлетворяла двум условиям: $x < c$ (чтобы $M$ была на стороне $AB$) и $x < \frac{b^2}{c}$ (чтобы $N$ была на стороне $AC$). То есть, нам нужно выбрать $x$ в интервале $0 < x < \min(c, \frac{b^2}{c})$. Поскольку $b$ и $c$ - это длины сторон треугольника, они положительны, и значит $\min(c, \frac{b^2}{c}) > 0$. Следовательно, мы всегда можем выбрать такое значение $x$ (например, $x = \frac{1}{2}\min(c, \frac{b^2}{c})$).

Итак, мы можем выбрать точку $M$ на $AB$ и построить точку $N$ на $AC$ так, что $\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AMN \sim \triangle ACB$. Так как $\triangle ACB$ подобен $\triangle ABC$, то и $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.

Осталось проверить, что прямая $MN$ не параллельна $BC$. Прямая $MN$ была бы параллельна $BC$ только в том случае, если бы $\angle AMN = \angle ABC$. Однако из нашего построения и подобия $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ следует, что $\angle AMN = \angle ACB$.Следовательно, $MN \parallel BC$ тогда и только тогда, когда $\angle ABC = \angle ACB$. Равенство этих углов означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ ($AC=AB$). Но по условию задачи треугольник $ABC$ неравнобедренный, поэтому $AC \neq AB$ и $\angle ABC \neq \angle ACB$.

Таким образом, $\angle AMN \neq \angle ABC$, и прямая $MN$ не параллельна стороне $BC$. Мы доказали, что существует прямая, удовлетворяющая всем условиям задачи.

Ответ: Утверждение доказано. Можно выбрать точки $M$ на стороне $AB$ и $N$ на стороне $AC$ таким образом, что выполняется соотношение $\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$. Тогда отсекаемый треугольник $AMN$ будет подобен данному треугольнику $ABC$ (а именно, $\triangle AMN \sim \triangle ACB$), а прямая $MN$ не будет параллельна стороне $BC$, так как исходный треугольник не является равнобедренным.