Номер 2.103, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.103. Докажите, что с помощью прямой, пересекающей две стороны неравнобедренного треугольника и не являющейся параллельной его третьей стороне, можно отсечь треугольник, подобный данному треугольнику.

Пусть дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$. Так как треугольник неравнобедренный, все его стороны и углы различны: $a \neq b$, $b \neq c$, $a \neq c$, и, соответственно, $\angle A \neq \angle B$, $\angle B \neq \angle C$, $\angle A \neq \angle C$.

Рассмотрим прямую, которая пересекает две стороны треугольника, например, $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Эта прямая отсекает от треугольника $ABC$ треугольник $AMN$. Нам нужно доказать, что можно так провести эту прямую, чтобы $\triangle AMN$ был подобен $\triangle ABC$, и при этом прямая $MN$ не была параллельна стороне $BC$.

Треугольник $AMN$ имеет общий угол $A$ с треугольником $ABC$. Для того чтобы треугольники были подобны, их углы должны быть соответственно равны. Рассмотрим возможные варианты соответствия углов.

1. $\triangle AMN \sim \triangle ABC$. В этом случае $\angle AMN = \angle ABC$ и $\angle ANM = \angle ACB$. Равенство соответственных углов $\angle AMN = \angle ABC$ означает, что прямая $MN$ параллельна прямой $BC$. Этот случай исключен условием задачи.

2. $\triangle AMN \sim \triangle ACB$. В этом случае углы должны соответствовать так: $\angle MAN = \angle CAB$ (что верно, так как это общий угол), $\angle AMN = \angle ACB$ и $\angle ANM = \angle ABC$.

Давайте докажем, что можно построить такой треугольник $AMN$. Подобие $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ имеет место, если, помимо равенства углов при вершине $A$, выполняется пропорциональность соответствующих сторон:$ \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB} $Используя обозначения длин сторон, $AC=b$ и $AB=c$, получим:$ \frac{AM}{b} = \frac{AN}{c} $Мы должны показать, что существуют такие точки $M$ на отрезке $AB$ и $N$ на отрезке $AC$, для которых это равенство выполняется.

Выберем точку $M$ на стороне $AB$. Длина отрезка $AM$ может принимать любое значение $x$ такое, что $0 < x < c$. Тогда, чтобы выполнялось условие пропорциональности, длина отрезка $AN$ должна быть $y = x \cdot \frac{c}{b}$.Для того чтобы точка $N$ лежала на отрезке $AC$, необходимо, чтобы выполнялось условие $0 < AN < b$, то есть $0 < y < b$.Подставим выражение для $y$: $x \cdot \frac{c}{b} < b$, откуда $x < \frac{b^2}{c}$.

Таким образом, нам нужно выбрать положение точки $M$ так, чтобы длина отрезка $AM = x$ удовлетворяла двум условиям: $x < c$ (чтобы $M$ была на стороне $AB$) и $x < \frac{b^2}{c}$ (чтобы $N$ была на стороне $AC$). То есть, нам нужно выбрать $x$ в интервале $0 < x < \min(c, \frac{b^2}{c})$. Поскольку $b$ и $c$ - это длины сторон треугольника, они положительны, и значит $\min(c, \frac{b^2}{c}) > 0$. Следовательно, мы всегда можем выбрать такое значение $x$ (например, $x = \frac{1}{2}\min(c, \frac{b^2}{c})$).

Итак, мы можем выбрать точку $M$ на $AB$ и построить точку $N$ на $AC$ так, что $\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AMN \sim \triangle ACB$. Так как $\triangle ACB$ подобен $\triangle ABC$, то и $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.

Осталось проверить, что прямая $MN$ не параллельна $BC$. Прямая $MN$ была бы параллельна $BC$ только в том случае, если бы $\angle AMN = \angle ABC$. Однако из нашего построения и подобия $\triangle AMN \sim \triangle ACB$ следует, что $\angle AMN = \angle ACB$.Следовательно, $MN \parallel BC$ тогда и только тогда, когда $\angle ABC = \angle ACB$. Равенство этих углов означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$ ($AC=AB$). Но по условию задачи треугольник $ABC$ неравнобедренный, поэтому $AC \neq AB$ и $\angle ABC \neq \angle ACB$.

Таким образом, $\angle AMN \neq \angle ABC$, и прямая $MN$ не параллельна стороне $BC$. Мы доказали, что существует прямая, удовлетворяющая всем условиям задачи.

Ответ: Утверждение доказано. Можно выбрать точки $M$ на стороне $AB$ и $N$ на стороне $AC$ таким образом, что выполняется соотношение $\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$. Тогда отсекаемый треугольник $AMN$ будет подобен данному треугольнику $ABC$ (а именно, $\triangle AMN \sim \triangle ACB$), а прямая $MN$ не будет параллельна стороне $BC$, так как исходный треугольник не является равнобедренным.