Номер 2.96, страница 98 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.96. Подобны ли друг другу равносторонние треугольники?

Да, любые два равносторонних треугольника подобны друг другу. Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться любым из признаков подобия треугольников.
Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, и, как следствие, все углы равны $60^\circ$.
Рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника, $\triangle ABC$ со стороной $a$ и $\triangle A_1B_1C_1$ со стороной $a_1$.

Доказательство по первому признаку подобия (по двум углам):
В любом равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$.В $\triangle ABC$: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.
В $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 60^\circ$.
Поскольку соответственные углы этих треугольников равны (например, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$), то по признаку подобия по двум углам треугольники подобны.

Доказательство по третьему признаку подобия (по трём сторонам):
В $\triangle ABC$ все стороны равны $a$: $AB = BC = CA = a$.
В $\triangle A_1B_1C_1$ все стороны равны $a_1$: $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1A_1 = a_1$.
Найдём отношение длин соответственных сторон:$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CA}{C_1A_1} = \frac{a}{a_1} $
Так как отношение длин всех соответственных сторон постоянно (равно коэффициенту подобия $k=\frac{a}{a_1}$), то стороны треугольников пропорциональны, и по третьему признаку подобия треугольники подобны.

Таким образом, поскольку для любой пары равносторонних треугольников выполняются признаки подобия, все равносторонние треугольники подобны друг другу.
Ответ: Да, подобны.