Номер 2.93, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.93. В треугольнике $ABC$ на сторонах $AB$ и $AC$ взяты точки $D$ и $E$ соответственно так, что $DE \parallel BC$. Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $ADE$, касаются.

Для доказательства воспользуемся методом гомотетии. Обозначим окружность, описанную около треугольника $ABC$, как $\omega_1$, а окружность, описанную около треугольника $ADE$, как $\omega_2$.

Поскольку по условию задачи отрезок $DE$ параллелен стороне $BC$ ($DE \parallel BC$), то треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$. Угол $\angle A$ у них общий, а углы $\angle ADE$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$.

Подобие этих двух треугольников означает, что $\triangle ADE$ является образом $\triangle ABC$ при гомотетии с центром в их общей вершине $A$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению соответственных сторон, например, $k = \frac{AD}{AB}$. При этой гомотетии $H$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$ верны следующие соотношения: $H(A) = A$, $H(B) = D$, $H(C) = E$.

Одним из свойств гомотетии является то, что она переводит окружность в окружность. В частности, описанная окружность фигуры переходит в описанную окружность ее образа. Следовательно, окружность $\omega_2$ (описанная около $\triangle ADE$) является образом окружности $\omega_1$ (описанной около $\triangle ABC$) при гомотетии $H$.

Обе окружности проходят через точку $A$, которая является центром гомотетии. Согласно ключевому свойству гомотетии, если центр гомотетии лежит на исходной фигуре, то образ этой фигуры касается исходной фигуры в центре гомотетии. Так как точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$, то ее образ, окружность $\omega_2$, касается окружности $\omega_1$ в точке $A$.

Таким образом, доказано, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $ADE$, касаются.

Ответ: Окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $ADE$, касаются друг друга в их общей точке $A$.