Номер 2.90, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.90. Даны угол и точка $A$, лежащая внутри этого угла. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку $A$.

Для решения задачи построим искомую окружность, используя метод гомотетии (преобразования подобия).

Анализ

Пусть дана окружность, касающаяся сторон угла с вершиной в точке $O$ и проходящая через точку $A$.

1. Центр окружности, касающейся сторон угла, равноудален от этих сторон. Геометрическое место таких точек — биссектриса угла. Следовательно, центр искомой окружности лежит на биссектрисе данного угла.

2. Окружность проходит через точку $A$. Это значит, что расстояние от центра окружности $C$ до точки $A$ равно радиусу $R$ этой окружности, то есть $CA = R$.

3. Так как окружность касается сторон угла, ее радиус $R$ равен расстоянию от центра $C$ до любой из сторон.

Таким образом, задача сводится к нахождению на биссектрисе угла такой точки $C$, расстояние от которой до точки $A$ равно расстоянию от нее до одной из сторон угла.

Построение

Пусть дан угол с вершиной $O$ и сторонами $m$ и $n$, и точка $A$ внутри угла.

1. Построим биссектрису $l$ данного угла.

2. На биссектрисе $l$ выберем произвольную точку $C_1$.

3. Построим вспомогательную окружность $\omega_1$ с центром в точке $C_1$, касающуюся сторон угла. Для этого опустим перпендикуляр из $C_1$ на одну из сторон угла (например, на сторону $m$) в точку $P_1$. Радиус этой окружности будет равен длине отрезка $C_1P_1$.

4. Проведем луч $OA$. Он пересечет вспомогательную окружность $\omega_1$ в двух точках, $A_1$ и $A_2$. (В общем случае две точки, в частном — одна, если луч касается окружности).

5. Искомая окружность $\omega$ является гомотетичной окружности $\omega_1$ с центром гомотетии в точке $O$. Точка $A$ на искомой окружности соответствует точке $A_1$ (или $A_2$) на вспомогательной окружности.

6. Чтобы найти центр $C$ первой искомой окружности, проведем через точку $A$ прямую, параллельную отрезку $C_1A_1$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $l$ и будет центром $C$ первой окружности.

7. Чтобы найти центр $C'$ второй искомой окружности, проведем через точку $A$ прямую, параллельную отрезку $C_1A_2$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $l$ будет центром $C'$ второй окружности.

8. Построим окружности: первую с центром $C$ и радиусом $CA$, вторую с центром $C'$ и радиусом $C'A$. Эти окружности являются решением задачи.

На рисунке ниже показан ход построения.

Доказательство

Рассмотрим построение с использованием точки $A_1$. Мы построили точку $C'$ на биссектрисе $l$ так, что прямая $C'A$ параллельна прямой $C_1A_1$. Рассмотрим гомотетию $H$ с центром в точке $O$, которая переводит точку $A_1$ в точку $A$. Так как точки $O, A_1, A$ лежат на одной прямой, такая гомотетия существует. Коэффициент гомотетии $k = \frac{OA}{OA_1}$.

При этой гомотетии $H$:

1. Прямая $l = OC_1$ переходит сама в себя.

2. Так как $C'A \parallel C_1A_1$ и точки $O, C_1, C'$ лежат на одной прямой $l$, то $\triangle OAC'$ подобен $\triangle OA_1C_1$. Следовательно, гомотетия $H$ переводит точку $C_1$ в точку $C'$.

3. Гомотетия $H$ переводит вспомогательную окружность $\omega_1$ в окружность $\omega'$ с центром в точке $C' = H(C_1)$ и проходящую через точку $A = H(A_1)$.

4. Поскольку окружность $\omega_1$ касается сторон угла $m$ и $n$, а центр гомотетии $O$ является вершиной угла, то ее образ, окружность $\omega'$, также будет касаться этих сторон.

Таким образом, построенная окружность $\omega'$ с центром $C'$ и радиусом $C'A$ удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство проводится для второй окружности $\omega$ с центром $C$, построенной с использованием точки $A_2$.

Исследование

Число решений задачи зависит от числа точек пересечения луча $OA$ с вспомогательной окружностью $\omega_1$. Поскольку точка $O$ (вершина угла) всегда находится вне окружности $\omega_1$ (так как расстояние $OC_1$ больше радиуса $C_1P_1$), луч $OA$ всегда пересекает окружность $\omega_1$.

- Если луч $OA$ пересекает окружность $\omega_1$ в двух точках ($A_1$ и $A_2$), то задача имеет два решения. Это общий случай.

- Если луч $OA$ касается окружности $\omega_1$ в одной точке, то задача имеет одно решение.

Следовательно, задача всегда имеет одно или два решения.

Ответ: Задача решается построением, описанным выше. В общем случае задача имеет два решения.