Номер 2.88, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.88. Даны гомотетичные между собой пары точек $A$ и $A_1$, $B$ и $B_1$. Как эти точки расположены между собой? Как определяется центр гомотетии?

Как эти точки расположены между собой?

По определению гомотетии с центром $S$ и коэффициентом $k$, для пар гомотетичных точек $A, A_1$ и $B, B_1$ выполняются следующие векторные равенства:

$\vec{SA_1} = k \cdot \vec{SA}$

$\vec{SB_1} = k \cdot \vec{SB}$

Чтобы определить взаимное расположение точек, рассмотрим вектор, соединяющий образы точек $A_1$ и $B_1$. Этот вектор можно выразить через векторы исходных точек:

$\vec{A_1B_1} = \vec{SB_1} - \vec{SA_1} = k \cdot \vec{SB} - k \cdot \vec{SA} = k(\vec{SB} - \vec{SA}) = k \cdot \vec{AB}$

Из полученного равенства $\vec{A_1B_1} = k \cdot \vec{AB}$ следует, что векторы $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны. Геометрически это означает, что прямая, проходящая через точки $A_1$ и $B_1$, параллельна прямой, проходящей через точки $A$ и $B$. В частном случае, если центр гомотетии $S$ лежит на прямой $AB$, все четыре точки $A, B, A_1, B_1$ будут лежать на одной прямой.

Кроме того, из этого же равенства следует, что длины отрезков $A_1B_1$ и $AB$ связаны соотношением: $|A_1B_1| = |k| \cdot |AB|$.

Ответ: Прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$, а отношение длин отрезков $|A_1B_1|/|AB|$ равно модулю коэффициента гомотетии $|k|$.

Как определяется центр гомотетии?

Центр гомотетии $S$ — это неподвижная точка, относительно которой происходит преобразование. Из определения гомотетии $\vec{SA_1} = k \cdot \vec{SA}$ следует, что векторы $\vec{SA_1}$ и $\vec{SA}$ коллинеарны, а значит, точки $S, A$ и $A_1$ лежат на одной прямой. Аналогично, точки $S, B$ и $B_1$ также лежат на одной прямой.

Таким образом, чтобы найти центр гомотетии $S$, необходимо построить прямую, проходящую через точки $A$ и $A_1$, и прямую, проходящую через точки $B$ и $B_1$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомым центром гомотетии $S$.

Рассмотрим основные случаи расположения точек:

1. Общий случай: прямые $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются.
Это происходит, когда точки $A, B, A_1, B_1$ не лежат на одной прямой и преобразование не является параллельным переносом (то есть коэффициент $k \neq 1$). Точка пересечения $S$ и есть центр гомотетии. В зависимости от знака коэффициента $k$ возможны два варианта расположения:
- Если коэффициент $k > 0$ (и $k \neq 1$), центр $S$ лежит вне отрезков $AA_1$ и $BB_1$. Точки $A$ и $A_1$ (а также $B$ и $B_1$) находятся по одну сторону от центра.
- Если коэффициент $k < 0$, центр $S$ лежит между точками $A$ и $A_1$, а также между $B$ и $B_1$.

2. Частный случай: прямые $AA_1$ и $BB_1$ параллельны.
Это происходит, если преобразование является параллельным переносом. В этом случае коэффициент гомотетии $k=1$, а векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равны. Четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом. Для такого преобразования не существует конечного центра гомотетии (иногда говорят, что центр находится в бесконечности).

3. Частный случай: все четыре точки лежат на одной прямой.
В этом случае прямые $AA_1$ и $BB_1$ совпадают. Центр гомотетии $S$ также лежит на этой общей прямой. Его точное положение можно найти, решив любое из уравнений гомотетии в координатах.

Ответ: Центр гомотетии определяется как точка пересечения прямых $AA_1$ и $BB_1$, при условии, что эти прямые не параллельны и не совпадают.