Номер 2.89, страница 94 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.89. Укажите фигуры, отображающиеся в себя при гомотетии. При этом покажите, как располагается центр гомотетии.

Гомотетия с центром S и коэффициентом k (обозначается $H(S, k)$) — это преобразование, при котором каждая точка M плоскости переходит в точку M' такую, что выполняется векторное равенство $\vec{SM'} = k \cdot \vec{SM}$. Фигура F отображается в себя, если её образ F' = $H(F)$ совпадает с исходной фигурой F. Мы будем рассматривать нетривиальные случаи, когда коэффициент гомотетии $k \neq 1$.

Точка
Точка отображается в себя, если она является центром гомотетии.
Доказательство: Пусть фигура состоит из одной точки P. Её образ P' определяется равенством $\vec{SP'} = k \cdot \vec{SP}$. Чтобы точка отобразилась в себя, необходимо, чтобы $P' = P$. Это означает, что $\vec{SP} = k \cdot \vec{SP}$. Так как по условию $k \neq 1$, это равенство выполняется только в том случае, если $\vec{SP}$ — нулевой вектор, то есть когда точка P совпадает с центром S.
Ответ: Точка, при условии, что она является центром гомотетии.

Прямая
Прямая отображается в себя, если центр гомотетии лежит на этой прямой.
Доказательство: Пусть l — прямая, а S — центр гомотетии, причем S лежит на l. Возьмем любую точку M на прямой l. Её образ M' определяется условием $\vec{SM'} = k \cdot \vec{SM}$. Поскольку точка M лежит на прямой l, как и центр S, вектор $\vec{SM}$ направлен вдоль прямой l. Умножение этого вектора на число k не меняет его направления (или меняет на противоположное, если $k<0$), поэтому вектор $\vec{SM'}$ также будет направлен вдоль прямой l. Это означает, что точка M' также лежит на прямой l. Так как для любой точки Q на прямой l можно найти прообраз P ($\vec{SP} = \frac{1}{k} \vec{SQ}$), который также лежит на l, то образом прямой l является вся прямая l. Это справедливо для любого коэффициента $k \neq 0, 1$.
Ответ: Прямая, при условии, что центр гомотетии находится на этой прямой.

Луч
Луч отображается в себя, если центр гомотетии совпадает с его начальной точкой, а коэффициент гомотетии $k > 0$.
Доказательство: Пусть r — луч с началом в точке V. Пусть центр гомотетии S совпадает с V. Тогда для любой точки M на луче r ее образ M' определяется равенством $\vec{VM'} = k \cdot \vec{VM}$. Если $k > 0$, то векторы $\vec{VM'}$ и $\vec{VM}$ сонаправлены. Это означает, что M' лежит на том же луче r. Так как это верно для любой точки M на луче, и для любой точки Q на луче найдется прообраз P, то весь луч отображается на себя. Если $k < 0$, образом луча будет луч, дополнительный к исходному. Если центр гомотетии S не совпадает с началом луча V, то образ начала V' не совпадет с V, и, следовательно, образ луча не совпадет с исходным лучом.
Ответ: Луч, при условии, что центр гомотетии совпадает с его начальной точкой, а коэффициент гомотетии положителен.

Угол
Угол (неразвернутый) отображается в себя, если центр гомотетии совпадает с его вершиной, а коэффициент гомотетии $k > 0$.
Доказательство: Угол образован двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины). Пусть V — вершина угла, а $r_1$ и $r_2$ — его стороны (лучи). Чтобы угол отобразился в себя, его вершина V должна перейти в себя, что при $k \neq 1$ возможно только если V — центр гомотетии S. Если S=V, то, как показано выше, каждый из лучей $r_1$ и $r_2$ отобразится в себя при $k > 0$. Следовательно, и весь угол отобразится в себя. Если $k < 0$, то мы получим угол, вертикальный исходному.
Ответ: Угол, при условии, что центр гомотетии совпадает с его вершиной, а коэффициент гомотетии положителен.

Две пересекающиеся прямые
Фигура, состоящая из двух пересекающихся прямых, отображается в себя, если центр гомотетии находится в точке их пересечения.
Доказательство: Пусть прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке P. Образ прямой при гомотетии — параллельная ей прямая. Чтобы фигура $l_1 \cup l_2$ отобразилась в себя, необходимо, чтобы $H(l_1) = l_1$ и $H(l_2) = l_2$ (так как $l_1 \not\parallel l_2$). Прямая отображается в себя, только если центр гомотетии S лежит на ней. Чтобы и $l_1$, и $l_2$ отобразились в себя, центр S должен лежать на обеих прямых, то есть в точке их пересечения P. Это справедливо для любого коэффициента $k \neq 0, 1$.
Ответ: Две пересекающиеся прямые, при условии, что центр гомотетии находится в точке их пересечения.

Две параллельные прямые
Фигура, состоящая из двух параллельных прямых, отображается в себя, если коэффициент гомотетии $k = -1$, а центр гомотетии лежит на прямой, равноудаленной от этих двух прямых.
Доказательство: Пусть $l_1$ и $l_2$ — две параллельные прямые. Их образы $l'_1$ и $l'_2$ будут им параллельны. Чтобы фигура $l_1 \cup l_2$ перешла в себя, необходимо, чтобы $H(l_1) = l_2$ и $H(l_2) = l_1$. Пусть S — центр гомотетии. Возьмем произвольную прямую, перпендикулярную $l_1$ и $l_2$, пересекающую их в точках $P_1$ и $P_2$ соответственно. Гомотетия должна менять местами точки $P_1$ и $P_2$. Это происходит, если S является серединой отрезка $P_1P_2$ и $k=-1$. Точка S, являющаяся серединой отрезка $P_1P_2$ для любого такого перпендикуляра, лежит на прямой, равноудаленной от $l_1$ и $l_2$.
Ответ: Две параллельные прямые, при условии, что коэффициент гомотетии равен -1, а центр гомотетии лежит на прямой, равноудаленной от данных прямых.

Окружность
Окружность отображается в себя, если коэффициент гомотетии $k = -1$, а центр гомотетии совпадает с центром окружности.
Доказательство: Пусть C — окружность с центром O и радиусом R. При гомотетии H(S, k) окружность C переходит в окружность C' с центром $O'=H(S,k)(O)$ и радиусом $R' = |k|R$. Чтобы C' совпала с C, необходимо $O' = O$ и $R' = R$. Из $R' = R$ следует $|k|=1$. Так как $k \neq 1$, остается $k = -1$. Из $O' = O$ при $k=-1$ следует $\vec{SO} = -\vec{SO}$, что выполняется только если $S = O$.
Ответ: Окружность, при условии, что центр гомотетии совпадает с центром окружности, а коэффициент равен -1.

Две концентрические окружности
Фигура, состоящая из двух различных концентрических окружностей, отображается в себя, если центр гомотетии совпадает с их общим центром, а коэффициент гомотетии $k = -1$.
Доказательство: Пусть фигура F состоит из двух окружностей $C_1$ и $C_2$ с общим центром O и различными радиусами $R_1$ и $R_2$. Чтобы фигура отображалась в себя, центр гомотетии S должен совпадать с O. Образ фигуры $H(F)$ будет состоять из двух окружностей с тем же центром O и радиусами $|k|R_1$ и $|k|R_2$. Чтобы множество окружностей сохранилось, возможны два случая: 1) каждая окружность переходит в себя, что дает $|k|=1$, т.е. $k=-1$; 2) окружности меняются местами, т.е. $|k|R_1 = R_2$ и $|k|R_2 = R_1$. Это возможно только если $R_1=R_2$, что противоречит условию. Таким образом, подходит только первый случай.
Ответ: Две различные концентрические окружности, при условии, что центр гомотетии совпадает с их общим центром, а коэффициент равен -1.

Вся плоскость
Вся плоскость отображается в себя при любой гомотетии.
Доказательство: При гомотетии H(S, k) любая точка M плоскости переходит в точку M' плоскости. Для любой точки Q плоскости можно найти ее прообраз P ($P=H(S, 1/k)(Q)$), который также является точкой плоскости. Следовательно, образом всей плоскости является вся плоскость. Это верно для любого центра S и любого коэффициента $k \neq 0$.
Ответ: Вся плоскость, при любой гомотетии (центр и коэффициент могут быть любыми, $k \neq 0$).