Номер 2.85, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.85. У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах. Основание одного из треугольников равно 8 см. Найдите боковую сторону этого треугольника, если боковая сторона и основание другого треугольника равны 17 см и 10 см соответственно.

Обозначим первый равнобедренный треугольник как $T_1$, а второй — как $T_2$.

Для треугольника $T_1$ нам дано основание $a_1 = 8$ см. Его боковые стороны равны, обозначим их длину как $b_1$. Эту величину нам и нужно найти.

Для треугольника $T_2$ нам даны основание $a_2 = 10$ см и боковая сторона $b_2 = 17$ см.

По условию задачи, углы при вершинах у этих двух равнобедренных треугольников равны. Обозначим этот угол как $\alpha$. Угол при вершине в равнобедренном треугольнике — это угол, противолежащий основанию и образованный двумя равными боковыми сторонами.

Поскольку треугольники $T_1$ и $T_2$ равнобедренные, углы при их основаниях также равны. Для любого равнобедренного треугольника с углом при вершине $\alpha$ каждый из углов при основании будет равен $\frac{180^\circ - \alpha}{2}$. Так как углы при вершинах у $T_1$ и $T_2$ равны, то и углы при их основаниях также соответственно равны.

Таким образом, все три угла треугольника $T_1$ соответственно равны трем углам треугольника $T_2$. Следовательно, треугольники $T_1$ и $T_2$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно. Составим пропорцию, приравняв отношение боковых сторон к отношению оснований:
$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{a_1}{a_2} $

Подставим известные значения в эту пропорцию:
$ \frac{b_1}{17} = \frac{8}{10} $

Выразим из этого уравнения неизвестную боковую сторону $b_1$:
$ b_1 = 17 \cdot \frac{8}{10} = 17 \cdot 0.8 = 13.6 $

Боковая сторона первого треугольника равна 13,6 см.
Ответ: 13,6 см.