Номер 2.78, страница 93 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.78. Можно ли найти центр гомотетии, если из соответствующих точек:

1) известна только одна пара;

2) известны две пары точек, не лежащих на одной прямой?

1) известна только одна пара

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$. Из этого определения следует, что точки $O$, $A$ и $A'$ лежат на одной прямой. Следовательно, если нам известна одна пара соответствующих точек $A$ и $A'$, то центр гомотетии $O$ должен лежать на прямой, проходящей через эти точки. Однако любая точка на прямой $AA'$ (за исключением некоторых особых случаев, например, самой точки $A$) может быть выбрана в качестве центра гомотетии. Для каждой такой точки $O$ можно найти соответствующий коэффициент $k$ как отношение длин направленных отрезков $k = OA'/OA$. Поскольку на прямой существует бесконечное множество точек, однозначно определить центр гомотетии по одной паре соответствующих точек невозможно.

Ответ: Нет, однозначно найти центр гомотетии по одной паре точек нельзя, так как он может быть любой точкой на прямой, соединяющей эти две точки (за исключением самих точек).

2) известны две пары точек, не лежащих на одной прямой

Пусть известны две пары соответствующих точек: точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$. Пусть $O$ — искомый центр гомотетии, а $k$ — её коэффициент. По определению гомотетии, точка $O$ должна лежать как на прямой $AA'$, так и на прямой $BB'$. Следовательно, центр гомотетии $O$ является точкой пересечения прямых $AA'$ и $BB'$.
Две различные прямые на плоскости пересекаются в единственной точке, если они не параллельны.
Условие "не лежащих на одной прямой" означает, что четыре точки $A, A', B, B'$ не коллинеарны. Это гарантирует, что прямые $AA'$ и $BB'$ не совпадают.
Рассмотрим, когда прямые $AA'$ и $BB'$ могут быть параллельны.Из свойств гомотетии следует, что $\vec{AA'} = (k-1)\vec{OA}$ и $\vec{BB'} = (k-1)\vec{OB}$.Прямые $AA'$ и $BB'$ будут параллельны, если коллинеарны векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$.
1. Если коэффициент гомотетии $k=1$, то преобразование является параллельным переносом. В этом случае $\vec{AA'} = \vec{BB'}$. Прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны (или совпадают, если $A, B$ на одной прямой с вектором переноса). У такого преобразования нет конечного центра гомотетии (иногда говорят, что центр находится в бесконечности). Этот случай возможен даже если точки $A, A', B, B'$ не лежат на одной прямой (например, если они образуют параллелограмм).
2. Если $k \neq 1$, то параллельность прямых $AA'$ и $BB'$ означает коллинеарность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$. Это возможно, только если точки $O, A, B$ лежат на одной прямой. Но тогда и соответствующие им точки $A'$ и $B'$ также лежат на этой прямой. Это означает, что все четыре точки $A, A', B, B'$ лежат на одной прямой, что противоречит условию задачи.
Таким образом, если гомотетия не является параллельным переносом, прямые $AA'$ и $BB'$ не параллельны и пересекаются в единственной точке, которая и является искомым центром.

Ответ: Да, можно, за исключением случая, когда преобразование является параллельным переносом (т.е. когда $\vec{AA'} = \vec{BB'}$). В этом особом случае прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны, и конечного центра гомотетии не существует. Во всех остальных случаях, удовлетворяющих условию, центр гомотетии находится однозначно как точка пересечения прямых $AA'$ и $BB'$.