Номер 2.73, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.73. Даны точки $A$, $B$ и пересекающиеся прямые $c$, $d$. Постройте квадрат $ABCD$ так, чтобы вершины $C$ и $D$ лежали на прямых $c$ и $d$ соответственно.

Для решения этой задачи воспользуемся методами геометрических преобразований. Пусть искомый квадрат — $ABCD$. Порядок вершин задан, следовательно, $AB$ и $AD$ — смежные стороны.

Из определения квадрата следует, что сторона $AD$ перпендикулярна стороне $AB$ и равна ей по длине. Это означает, что вершина $D$ может быть получена из вершины $B$ поворотом вокруг вершины $A$ на угол $90^\circ$ (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Аналогично, вершина $C$ может быть получена из вершины $A$ поворотом вокруг вершины $B$ на $90^\circ$.

Таким образом, для заданного отрезка $AB$ существует всего два квадрата, у которых $AB$ является стороной. Наша задача сводится к построению этих двух возможных квадратов и проверке, удовлетворяют ли их вершины $C$ и $D$ условию принадлежности прямым $c$ и $d$ соответственно.

Пусть $R_{P, \alpha}(M)$ обозначает поворот точки $M$ вокруг точки $P$ на угол $\alpha$. Положительное значение $\alpha$ соответствует повороту против часовой стрелки.

Существуют два возможных случая для расположения вершин квадрата.

1. Построение первого возможного квадрата (вершины $A, B, C_1, D_1$ в порядке против часовой стрелки).

a. Строим точку $D_1 = R_{A, 90^\circ}(B)$. Для этого проводим через точку $A$ прямую, перпендикулярную отрезку $AB$. На этой прямой откладываем отрезок $AD_1$, равный по длине отрезку $AB$, так, чтобы поворот от вектора $\vec{AB}$ к вектору $\vec{AD_1}$ был на $90^\circ$ против часовой стрелки.

b. Строим точку $C_1$. Вершина $C_1$ является четвертой вершиной параллелограмма $ABCD_1$, поэтому $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD_1}$. Также можно найти $C_1$ как $D_1 + \vec{AB}$.

2. Построение второго возможного квадрата (вершины $A, B, C_2, D_2$ в порядке по часовой стрелке).

a. Строим точку $D_2 = R_{A, -90^\circ}(B)$. Построение аналогично пункту 1a, но поворот от вектора $\vec{AB}$ к вектору $\vec{AD_2}$ осуществляется на $90^\circ$ по часовой стрелке.

b. Строим точку $C_2$, используя соотношение $\vec{AC_2} = \vec{AB} + \vec{AD_2}$.

3. Анализ полученных решений.

После построения двух возможных квадратов, $ABC_1D_1$ и $ABC_2D_2$, необходимо проверить, какой из них удовлетворяет условиям задачи.

- Проверяем первый квадрат: если точка $C_1$ лежит на прямой $c$ и точка $D_1$ лежит на прямой $d$, то квадрат $ABC_1D_1$ является искомым решением.

- Проверяем второй квадрат: если точка $C_2$ лежит на прямой $c$ и точка $D_2$ лежит на прямой $d$, то квадрат $ABC_2D_2$ является искомым решением.

В зависимости от взаимного расположения точек $A, B$ и прямых $c, d$ задача может не иметь решений, иметь одно или два решения.

Ответ: Искомый квадрат строится путем нахождения двух возможных квадратов со стороной $AB$ и последующей проверки, для какого из них вершины $C$ и $D$ лежат на заданных прямых $c$ и $d$.