Номер 2.70, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.70. Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок так, чтобы концы лежали на двух заданных окружностях и середина совпадала с точкой пересечения окружностей.

Пусть даны две пересекающиеся окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ и $\omega_2$ с центром $O_2$. Пусть $M$ — одна из точек их пересечения. Требуется построить отрезок $AB$ так, чтобы точка $A$ принадлежала окружности $\omega_1$, точка $B$ — окружности $\omega_2$, а точка $M$ являлась серединой отрезка $AB$.

Для решения этой задачи используется метод геометрических преобразований, а именно — центральная симметрия. Если точка $M$ является серединой отрезка $AB$, то это означает, что точка $B$ является образом точки $A$ при центральной симметрии с центром в точке $M$. Обозначим это преобразование как $S_M$. Так как точка $A$ по условию лежит на окружности $\omega_1$, то ее образ, точка $B$, должна лежать на образе окружности $\omega_1$ при симметрии $S_M$. Обозначим этот образ как $\omega_1'$. С другой стороны, по условию точка $B$ также должна лежать на окружности $\omega_2$. Следовательно, искомая точка $B$ является общей точкой окружностей $\omega_1'$ и $\omega_2$, то есть их точкой пересечения. Это наблюдение позволяет выполнить требуемое построение.

Алгоритм построения следующий. Шаг 1: Выбираем одну из двух точек пересечения данных окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$ и обозначаем ее $M$. Шаг 2: Строим окружность $\omega_1'$, симметричную окружности $\omega_1$ относительно точки $M$. Для этого сначала находим центр $O_1'$ новой окружности, который симметричен центру $O_1$ относительно точки $M$ (это значит, что $M$ — середина отрезка $O_1O_1'$). Радиус окружности $\omega_1'$ равен радиусу окружности $\omega_1$. Шаг 3: Находим точки пересечения построенной окружности $\omega_1'$ и второй данной окружности $\omega_2$. Одна из этих точек пересечения всегда будет сама точка $M$. Вторую точку пересечения (в общем случае, когда окружности не касаются) обозначим $B$. Шаг 4: Найденная точка $B$ является одним из концов искомого отрезка. Для нахождения второго конца, точки $A$, строим точку, симметричную $B$ относительно $M$. Для этого проводим прямую через $B$ и $M$ и откладываем на ней отрезок $MA$, равный отрезку $BM$, так, чтобы $M$ была серединой отрезка $AB$. Шаг 5: Отрезок $AB$ является искомым.

Докажем корректность построения. По построению, точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Также по построению, точка $B$ лежит на окружности $\omega_2$, так как является точкой пересечения $\omega_1'$ и $\omega_2$. Необходимо показать, что точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$. Точка $A$ была построена как образ точки $B$ при симметрии $S_M$, то есть $A = S_M(B)$. Точка $B$, в свою очередь, лежит на окружности $\omega_1'$, которая является образом $\omega_1$ при той же симметрии ($\omega_1' = S_M(\omega_1)$). Если применить к точке $A$ преобразование $S_M$, мы получим точку $B$. Поскольку $A$ является прообразом точки $B$, а $B$ лежит на $\omega_1'$, то точка $A$ должна лежать на прообразе окружности $\omega_1'$, то есть на $S_M(\omega_1')$. Так как центральная симметрия является инволюцией ($S_M \circ S_M$ — тождественное преобразование), то $S_M(\omega_1') = S_M(S_M(\omega_1)) = \omega_1$. Следовательно, точка $A$ действительно лежит на окружности $\omega_1$. Таким образом, построенный отрезок $AB$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача всегда имеет решение. Так как $M$ принадлежит $\omega_1$, ее образ при симметрии относительно самой себя (т.е. $M$ ) принадлежит $\omega_1'$. Поскольку $M$ также принадлежит $\omega_2$, точка $M$ всегда является точкой пересечения $\omega_1'$ и $\omega_2$. Если $\omega_1'$ и $\omega_2$ пересекаются еще в одной точке $B \neq M$, то решение — невырожденный отрезок $AB$. Если же $\omega_1'$ и $\omega_2$ касаются в точке $M$, то $B=M$, и тогда $A=S_M(M)=M$, а отрезок вырождается в точку $M$. Так как исходные окружности пересекаются в двух точках, можно выполнить построение для каждой из них. Таким образом, в общем случае задача имеет два решения (два отрезка).

Ответ: Искомый отрезок $AB$ строится следующим образом: 1) Строится окружность $\omega_1'$, симметричная окружности $\omega_1$ относительно точки пересечения $M$. 2) Находится точка $B$ как точка пересечения окружности $\omega_2$ и построенной окружности $\omega_1'$ (отличная от $M$). 3) Находится точка $A$ как точка, симметричная точке $B$ относительно $M$.