Номер 2.71, страница 88 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.71. Постройте треугольник по трем медианам.

Для построения треугольника по трём заданным медианам $m_a, m_b, m_c$ используется метод построения вспомогательного треугольника, стороны которого связаны с медианами исходного.

Анализ

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. $AA_1, BB_1, CC_1$ — его медианы, равные соответственно $m_a, m_b, m_c$. Пусть $M$ — точка пересечения медиан (центроид). Известно, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, мы имеем следующие длины отрезков:
$AM = \frac{2}{3}m_a, \quad MA_1 = \frac{1}{3}m_a$
$BM = \frac{2}{3}m_b, \quad MB_1 = \frac{1}{3}m_b$
$CM = \frac{2}{3}m_c, \quad MC_1 = \frac{1}{3}m_c$

Продолжим медиану $AA_1$ за точку $A_1$ на отрезок $A_1D$, равный $MA_1 = \frac{1}{3}m_a$. Рассмотрим четырехугольник $MBDC$. Его диагонали $BC$ и $MD$ пересекаются в точке $A_1$. Поскольку $A_1$ — середина стороны $BC$ (так как $AA_1$ — медиана) и, по построению, $A_1$ — середина отрезка $MD$ (так как $MA_1 = A_1D$), то четырехугольник $MBDC$ является параллелограммом.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = MB = \frac{2}{3}m_b$ и $BD = MC = \frac{2}{3}m_c$. Рассмотрим треугольник $MDC$. Его стороны равны:
$MD = MA_1 + A_1D = \frac{1}{3}m_a + \frac{1}{3}m_a = \frac{2}{3}m_a$
$MC = \frac{2}{3}m_c$
$CD = \frac{2}{3}m_b$

Таким образом, мы можем построить треугольник $MDC$, так как известны длины всех его сторон. Построив этот вспомогательный треугольник, мы сможем восстановить искомый треугольник $ABC$.

Построение

Пусть даны три отрезка, соответствующие медианам $m_a, m_b, m_c$.

1. Для каждого из данных отрезков $m_a, m_b, m_c$ построим отрезки, длины которых равны $\frac{2}{3}$ их длины. Это можно сделать, например, с помощью теоремы Фалеса, разделив каждый отрезок на три равные части и взяв две из них. Обозначим полученные длины как $l_a = \frac{2}{3}m_a, l_b = \frac{2}{3}m_b, l_c = \frac{2}{3}m_c$.

2. Построим треугольник $MDC$ по трем сторонам: $MD = l_a$, $CD = l_b$, $MC = l_c$. Это построение возможно, если длины $l_a, l_b, l_c$ удовлетворяют неравенству треугольника.

3. Найдем середину стороны $MD$. Обозначим ее точкой $A_1$.

4. Проведем луч $CA_1$ и отложим на нем за точкой $A_1$ отрезок $A_1B$, равный отрезку $CA_1$. Точка $B$ — одна из вершин искомого треугольника.

5. Проведем луч $DA_1$ (он пройдет через точку $M$) и отложим на нем от точки $M$ отрезок $MA$, равный отрезку $MD$. Точка $A$ — третья вершина искомого треугольника.

6. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство

Нужно доказать, что медианы построенного треугольника $ABC$ равны $m_a, m_b, m_c$.

1. Медиана из вершины A: По построению (шаг 4), $A_1$ является серединой отрезка $BC$. Следовательно, $AA_1$ — медиана треугольника $ABC$. По построению (шаги 3 и 5), точки $A, M, A_1$ лежат на одной прямой, причем $M$ лежит между $A$ и $A_1$, $A_1$ — середина $MD$, и $AM = MD$. Отсюда $AM = 2MA_1$. Значит, $M$ — точка пересечения медиан, и $AA_1 = AM + MA_1 = MD + \frac{1}{2}MD = \frac{3}{2}MD$. Так как $MD$ мы строили длиной $\frac{2}{3}m_a$, то $AA_1 = \frac{3}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_a) = m_a$.

2. Медиана из вершины C: Точка $M$ делит медиану $AA_1$ в отношении 2:1. Мы построили $MC$ длиной $l_c = \frac{2}{3}m_c$. Чтобы доказать, что медиана из вершины $C$ равна $m_c$, нужно показать, что продолжение отрезка $CM$ пересекает сторону $AB$ в ее середине $C_1$, и при этом $MC = 2MC_1$. Рассмотрим треугольник $ABD$. $M$ — середина $AD$ (так как $AM=MD$), а $C_1$ — середина $AB$. Значит, $MC_1$ — средняя линия треугольника $ABD$. Следовательно, $MC_1 = \frac{1}{2}BD$ и $MC_1 \parallel BD$. В параллелограмме $MBDC$ (построенном в анализе) $BD = MC = \frac{2}{3}m_c$. Значит, $MC_1 = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}m_c) = \frac{1}{3}m_c$. Так как $MC_1 \parallel BD$ и $BD \parallel MC$, то точки $C, M, C_1$ лежат на одной прямой. Полная длина медианы $CC_1 = CM + MC_1 = \frac{2}{3}m_c + \frac{1}{3}m_c = m_c$.

3. Медиана из вершины B: Аналогично, рассмотрим медиану из вершины $B$. Мы знаем, что $M$ - точка пересечения медиан. Длина отрезка $BM$ равна длине стороны $CD$ в параллелограмме $MBDC$, то есть $BM = CD = \frac{2}{3}m_b$. Продолжение $BM$ пересекает $AC$ в ее середине $B_1$. $MB = 2MB_1$, откуда $MB_1 = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{3}m_b$. Полная длина медианы $BB_1 = BM + MB_1 = \frac{2}{3}m_b + \frac{1}{3}m_b = m_b$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ действительно имеет медианы длиной $m_a, m_b, m_c$.

Исследование

Построение возможно тогда и только тогда, когда можно построить вспомогательный треугольник $MDC$. Треугольник можно построить по трем сторонам, если сумма длин любых двух его сторон больше длины третьей стороны.
Стороны $\triangle MDC$ имеют длины $\frac{2}{3}m_a, \frac{2}{3}m_b, \frac{2}{3}m_c$. Неравенство треугольника для них:
$\frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b > \frac{2}{3}m_c \quad \iff \quad m_a + m_b > m_c$
$\frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_b \quad \iff \quad m_a + m_c > m_b$
$\frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c > \frac{2}{3}m_a \quad \iff \quad m_b + m_c > m_a$

Следовательно, задача имеет решение тогда и только тогда, когда из отрезков с длинами, равными длинам медиан ($m_a, m_b, m_c$), можно составить треугольник. Если это условие выполнено, то решение единственно (с точностью до конгруэнтности), так как все шаги построения выполняются однозначно.

Ответ: Вышеописанный метод анализа, построения и доказательства является решением задачи.