Номер 2.65, страница 87 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.65. Докажите, что при последовательном применении осевых симметрий относительно прямых $l_1$ и $l_2$ получается преобразование параллельного переноса, если $l_1 \| l_2$.

Для доказательства данного утверждения можно использовать как геометрический, так и аналитический (координатный) метод. Рассмотрим оба.

1. Геометрическое доказательство

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$. Пусть $S_1$ — это осевая симметрия относительно прямой $l_1$, а $S_2$ — осевая симметрия относительно прямой $l_2$. Нам нужно доказать, что композиция преобразований $T = S_2 \circ S_1$ является параллельным переносом.

Возьмём произвольную точку $P$ на плоскости.

Шаг 1: Применим к точке $P$ симметрию $S_1$. Получим точку $P_1 = S_1(P)$. По определению осевой симметрии, прямая $l_1$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP_1$. Это значит, что если $M_1$ — точка пересечения отрезка $PP_1$ с прямой $l_1$, то $PP_1 \perp l_1$ и $|PM_1| = |M_1P_1|$.

Шаг 2: Применим к полученной точке $P_1$ симметрию $S_2$. Получим точку $P_2 = S_2(P_1)$. Аналогично, прямая $l_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $P_1P_2$. Это значит, что если $M_2$ — точка пересечения отрезка $P_1P_2$ с прямой $l_2$, то $P_1P_2 \perp l_2$ и $|P_1M_2| = |M_2P_2|$.

Так как $l_1 \parallel l_2$, а прямые $PP_1$ и $P_1P_2$ перпендикулярны им, то эти прямые совпадают. Следовательно, все пять точек $P$, $M_1$, $P_1$, $M_2$, $P_2$ лежат на одной прямой, которая перпендикулярна обеим прямым $l_1$ и $l_2$.

Рассмотрим вектор перемещения $\vec{v} = \vec{PP_2}$. Его можно представить как сумму векторов: $\vec{PP_2} = \vec{PP_1} + \vec{P_1P_2}$. Из свойств симметрии имеем векторные равенства: $\vec{PP_1} = 2\vec{PM_1}$ и $\vec{P_1P_2} = 2\vec{P_1M_2}$. Тогда $\vec{PP_2} = 2\vec{PM_1} + 2\vec{P_1M_2} = 2(\vec{PM_1} + \vec{P_1M_2})$.

Выразим вектор $\vec{P_1M_2}$ через другие векторы, лежащие на той же прямой: $\vec{P_1M_2} = \vec{P_1M_1} + \vec{M_1M_2}$. Так как $M_1$ — середина отрезка $PP_1$, то $\vec{P_1M_1} = -\vec{PM_1}$. Подставим это в выражение для $\vec{P_1M_2}$: $\vec{P_1M_2} = -\vec{PM_1} + \vec{M_1M_2}$.

Теперь подставим полученное выражение в формулу для $\vec{PP_2}$: $\vec{PP_2} = 2(\vec{PM_1} + (-\vec{PM_1} + \vec{M_1M_2})) = 2(\vec{PM_1} - \vec{PM_1} + \vec{M_1M_2}) = 2\vec{M_1M_2}$.

Вектор $\vec{d} = \vec{M_1M_2}$ является вектором, проведенным из точки на прямой $l_1$ в точку на прямой $l_2$ по общему перпендикуляру. Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, этот вектор не зависит от выбора начальной точки $P$. Его направление, длина и ориентация постоянны: он перпендикулярен обеим прямым, направлен от $l_1$ к $l_2$, а его модуль равен расстоянию между прямыми.

Таким образом, композиция двух симметрий переводит любую точку $P$ в точку $P_2$ такую, что вектор $\vec{PP_2}$ равен постоянному вектору $\vec{v} = 2\vec{d}$. Преобразование, которое сдвигает все точки плоскости на один и тот же вектор, является по определению параллельным переносом.

Ответ: Доказано, что композиция двух осевых симметрий относительно параллельных прямых является параллельным переносом на вектор, перпендикулярный этим прямым, направленный от первой прямой ко второй, и с модулем, равным удвоенному расстоянию между ними.

2. Аналитическое доказательство (метод координат)

Введем на плоскости декартову систему координат. Поскольку прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, мы можем для удобства направить ось $Ox$ перпендикулярно им. Тогда уравнения прямых примут вид $x = a$ и $x = b$ для некоторых констант $a$ и $b$. Пусть $l_1: x = a$ и $l_2: x = b$. Возьмем произвольную точку $P$ с координатами $(x, y)$.

Шаг 1: Найдем образ точки $P(x, y)$ при симметрии $S_1$ относительно прямой $l_1: x=a$. Обозначим его $P_1(x_1, y_1)$. При симметрии относительно вертикальной прямой ордината точки сохраняется, т.е. $y_1 = y$. Абсцисса точки изменяется так, что середина отрезка $PP_1$ лежит на оси симметрии: $\frac{x + x_1}{2} = a \implies x+x_1 = 2a \implies x_1 = 2a - x$. Следовательно, координаты точки $P_1$ равны $(2a - x, y)$.

Шаг 2: Теперь найдем образ точки $P_1(2a - x, y)$ при симметрии $S_2$ относительно прямой $l_2: x=b$. Обозначим его $P_2(x_2, y_2)$. Аналогично, ордината сохраняется: $y_2 = y_1 = y$. Для новой абсциссы $x_2$ имеем: $\frac{x_1 + x_2}{2} = b \implies \frac{(2a-x) + x_2}{2} = b$. $2a - x + x_2 = 2b \implies x_2 = x + 2b - 2a = x + 2(b-a)$. Следовательно, координаты точки $P_2$ равны $(x + 2(b-a), y)$.

Итак, итоговое преобразование переводит произвольную точку $P(x, y)$ в точку $P_2(x + 2(b-a), y)$. Это преобразование можно записать в векторной форме. Если $\vec{r} = (x, y)$ — радиус-вектор точки $P$, а $\vec{r_2} = (x_2, y_2)$ — радиус-вектор точки $P_2$, то: $\vec{r_2} = (x + 2(b-a), y) = (x, y) + (2(b-a), 0)$. Обозначим $\vec{v} = (2(b-a), 0)$. Тогда $\vec{r_2} = \vec{r} + \vec{v}$.

Вектор $\vec{v}$ не зависит от координат $(x, y)$ исходной точки $P$, то есть он является постоянным. Преобразование плоскости, при котором каждая точка смещается на один и тот же вектор, является параллельным переносом. Вектор переноса $\vec{v}$ перпендикулярен осям симметрии (так как его координата $y$ равна нулю, а оси симметрии параллельны оси $Oy$) и его длина равна $|2(b-a)| = 2|b-a|$, что есть удвоенное расстояние между прямыми.

Ответ: Доказано, что последовательное применение двух осевых симметрий относительно параллельных прямых является параллельным переносом.