Номер 2.58, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.58. Докажите, что четырехугольник является ромбом, если диагонали четырехугольника являются его осями симметрии.

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, и его диагонали $AC$ и $BD$ являются его осями симметрии. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей.

Рассмотрим, что следует из того, что диагональ $AC$ является осью симметрии четырехугольника $ABCD$.
Осевая симметрия относительно прямой (оси) переводит фигуру в саму себя. Вершины, лежащие на оси симметрии ($A$ и $C$), отображаются сами на себя. Остальные вершины должны отображаться друг на друга. Таким образом, при симметрии относительно оси $AC$ вершина $B$ переходит в вершину $D$, а вершина $D$ — в вершину $B$.
По определению осевой симметрии, отрезок, соединяющий симметричные точки (в данном случае $B$ и $D$), перпендикулярен оси симметрии ($AC$) и делится этой осью пополам. Следовательно, из того, что $AC$ — ось симметрии, вытекает, что диагональ $BD$ перпендикулярна диагонали $AC$ ($BD \perp AC$) и в точке их пересечения $O$ делится пополам ($BO = OD$).

Аналогично, рассмотрим, что следует из того, что диагональ $BD$ является осью симметрии.
При симметрии относительно оси $BD$ вершины $B$ и $D$ остаются на месте, а вершина $A$ переходит в вершину $C$, и наоборот.
Следовательно, отрезок $AC$ перпендикулярен оси $BD$ ($AC \perp BD$) и в точке пересечения $O$ делится пополам ($AO = OC$).

Итак, мы установили, что в четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Это является одним из признаков ромба. Докажем, что из этого следует равенство всех сторон четырехугольника.

Рассмотрим четыре треугольника, образованных пересечением диагоналей: $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD$ и $\triangle DOA$. Все эти треугольники являются прямоугольными, так как $AC \perp BD$.
Сравним $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. У них сторона $BO$ — общая, $AO = CO$ (как было показано) и угол между этими сторонами $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOB \cong \triangle COB$. Отсюда следует равенство их гипотенуз: $AB = CB$.
Аналогично, сравнивая $\triangle BOC$ и $\triangle DOC$, мы находим, что они равны (по двум катетам: $CO$ — общая, $BO = DO$), откуда $BC = DC$.
Сравнивая $\triangle DOC$ и $\triangle DOA$, мы находим, что они равны (по двум катетам: $DO$ — общая, $CO = AO$), откуда $DC = DA$.
Таким образом, мы получаем, что все стороны четырехугольника равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Если диагонали четырехугольника являются его осями симметрии, то каждая диагональ перпендикулярна другой и делит ее пополам. Четырехугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом, так как из этого свойства следует равенство всех его сторон.