Номер 2.56, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.56. Докажите, что два ромба равны между собой, если равны их диагонали.

Дано:

Ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$.

Ромб $A'B'C'D'$ с диагоналями $A'C'$ и $B'D'$.

По условию, их диагонали равны: $AC = A'C'$ и $BD = B'D'$.

Доказать:

Ромб $ABCD$ равен ромбу $A'B'C'D'$.

Доказательство:

Рассмотрим два ромба $ABCD$ и $A'B'C'D'$.

По свойству ромба, его диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD$, а $O'$ — точка пересечения диагоналей ромба $A'B'C'D'$.

Тогда для ромба $ABCD$ имеем:

$AO = OC = \frac{1}{2}AC$

$BO = OD = \frac{1}{2}BD$

$\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$

Аналогично для ромба $A'B'C'D'$:

$A'O' = O'C' = \frac{1}{2}A'C'$

$B'O' = O'D' = \frac{1}{2}B'D'$

$\angle A'O'B' = \angle B'O'C' = \angle C'O'D' = \angle D'O'A' = 90^\circ$

Из условия $AC = A'C'$ и $BD = B'D'$ следует равенство половин диагоналей:

$AO = A'O'$, $OC = O'C'$, $BO = B'O'$, $OD = O'D'$.

Теперь сравним треугольники, на которые диагонали делят ромбы. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle A'O'B'$.

В них:

1. $AO = A'O'$ (по доказанному).

2. $BO = B'O'$ (по доказанному).

3. $\angle AOB = \angle A'O'B' = 90^\circ$ (как углы между диагоналями ромба).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A'O'B'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Аналогично можно доказать равенство и других пар треугольников:

$\triangle BOC = \triangle B'O'C'$ (так как $BO=B'O'$, $OC=O'C'$, $\angle BOC=\angle B'O'C'=90^\circ$).

$\triangle COD = \triangle C'O'D'$ (так как $CO=C'O'$, $OD=O'D'$, $\angle COD=\angle C'O'D'=90^\circ$).

$\triangle DOA = \triangle D'O'A'$ (так как $DO=D'O'$, $OA=O'A'$, $\angle DOA=\angle D'O'A'=90^\circ$).

Ромб $ABCD$ состоит из треугольников $\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$. Ромб $A'B'C'D'$ состоит из треугольников $\triangle A'O'B', \triangle B'O'C', \triangle C'O'D', \triangle D'O'A'$.

Поскольку соответствующие треугольники, из которых состоят ромбы, равны, то и сами ромбы равны. Равенство фигур означает, что их можно совместить наложением. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Два ромба, имеющие соответственно равные диагонали, равны между собой.