Номер 2.53, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.53. Докажите, что:

1) отрезки равной длины;

2) углы с равными градусными мерами;

3) окружности с равными радиусами равны между собой, т.е. совмещаются с помощью некоторого движения.

1) отрезки равной длины

Пусть даны два отрезка $AB$ и $CD$ одинаковой длины, то есть $|AB| = |CD|$. Чтобы доказать их равенство, нужно показать, что существует движение (изометрия), которое совмещает отрезок $AB$ с отрезком $CD$.

1. Выполним параллельный перенос на вектор $\vec{AC}$. Это движение, при котором точка $A$ переходит в точку $C$. Точка $B$ при этом переходит в некоторую точку $B'$. В результате этого переноса отрезок $AB$ переходит в отрезок $CB'$. Так как параллельный перенос является движением, он сохраняет расстояния, поэтому длина отрезка $CB'$ равна длине отрезка $AB$. Таким образом, $|CB'| = |AB| = |CD|$.

2. Теперь у нас есть два отрезка, $CB'$ и $CD$, с общим началом в точке $C$ и одинаковой длиной. Это означает, что точки $B'$ и $D$ лежат на одной и той же окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $|CD|$.

3. Выполним поворот вокруг центра $C$ на угол $\angle B'CD$. При этом повороте точка $C$ остается на месте, а точка $B'$ переходит в точку $D$, так как они находятся на одинаковом расстоянии от центра вращения $C$. Луч $CB'$ совмещается с лучом $CD$. Следовательно, отрезок $CB'$ полностью совмещается с отрезком $CD$.

Мы последовательно применили два движения: параллельный перенос и поворот. Композиция движений также является движением. Это движение совмещает отрезок $AB$ с отрезком $CD$. Следовательно, отрезки равной длины равны между собой.

Ответ: Доказано.

2) углы с равными градусными мерами

Пусть даны два угла, $\angle BAC$ и $\angle EDF$, с равной градусной мерой $\alpha$. Угол определяется вершиной и двумя лучами, выходящими из нее. Докажем, что существует движение, которое совмещает эти два угла.

1. Совместим вершины углов. Выполним параллельный перенос на вектор $\vec{AD}$. Это движение, которое переводит точку $A$ в точку $D$. Лучи, образующие угол $\angle BAC$, перейдут в лучи, выходящие из точки $D$, образуя новый угол $\angle B'DC'$, равный исходному, так как параллельный перенос сохраняет углы.

2. Теперь у нас есть два угла с общей вершиной $D$: $\angle B'DC'$ и $\angle EDF$, и оба они равны $\alpha$. Совместим один из лучей. Выполним поворот вокруг точки $D$ на такой угол, чтобы луч $DB'$ совместился с лучом $DE$. После этого поворота луч $DC'$ перейдет в некоторый луч $DC''$. Угол $\angle EDC''$ будет по-прежнему равен $\alpha$, так как поворот является движением и сохраняет углы.

3. Теперь лучи $DE$ у обоих углов ($\angle EDC''$ и $\angle EDF$) совпадают. Лучи $DC''$ и $DF$ образуют с лучом $DE$ одинаковый угол $\alpha$. Это означает, что они либо совпадают, либо симметричны относительно прямой, содержащей луч $DE$.

а) Если лучи $DC''$ и $DF$ лежат по одну сторону от прямой $DE$, то они совпадают. В этом случае угол $\angle BAC$ полностью совместился с углом $\angle EDF$ в результате композиции параллельного переноса и поворота.

б) Если лучи $DC''$ и $DF$ лежат по разные стороны от прямой $DE$, выполним осевую симметрию (отражение) относительно прямой $DE$. Это движение оставит луч $DE$ на месте, а луч $DC''$ переведет в луч $DF$. В этом случае угол $\angle BAC$ совместился с углом $\angle EDF$ в результате композиции параллельного переноса, поворота и осевой симметрии.

В обоих случаях существует движение, совмещающее один угол с другим. Следовательно, углы с равными градусными мерами равны между собой.

Ответ: Доказано.

3) окружности с равными радиусами

Пусть даны две окружности, $\omega_1$ и $\omega_2$, с равными радиусами $R$. Пусть центр окружности $\omega_1$ — точка $O_1$, а центр окружности $\omega_2$ — точка $O_2$. Окружность — это множество всех точек плоскости, удаленных от ее центра на расстояние, равное радиусу.

1. Чтобы доказать равенство окружностей, найдем движение, которое совмещает $\omega_1$ и $\omega_2$. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{O_1O_2}$. Это движение, при котором центр первой окружности $O_1$ переходит в центр второй окружности $O_2$.

2. Докажем, что при этом переносе любая точка первой окружности переходит в точку второй окружности. Пусть $P$ — произвольная точка на окружности $\omega_1$. По определению, расстояние от $P$ до центра $O_1$ равно радиусу: $|PO_1| = R$.

3. При параллельном переносе на вектор $\vec{O_1O_2}$ точка $P$ переходит в точку $P'$, а точка $O_1$ — в точку $O_2$. Параллельный перенос является движением, а значит, сохраняет расстояние между точками. Следовательно, расстояние между образами точек $P'$ и $O_2$ равно расстоянию между исходными точками $P$ и $O_1$.

Математически это записывается так: $|P'O_2| = |PO_1|$.

4. Так как $|PO_1| = R$, то и $|P'O_2| = R$. Это означает, что точка $P'$ удалена от центра $O_2$ на расстояние $R$, то есть $P'$ лежит на окружности $\omega_2$.

Поскольку мы выбрали произвольную точку $P$ на $\omega_1$, это верно для всех точек этой окружности. Аналогично можно показать, что каждая точка окружности $\omega_2$ является образом некоторой точки окружности $\omega_1$. Таким образом, параллельный перенос на вектор $\vec{O_1O_2}$ полностью совмещает окружность $\omega_1$ с окружностью $\omega_2$.

Существование такого движения доказывает, что окружности с равными радиусами равны между собой.

Ответ: Доказано.