Номер 2.48, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.48. Какова связь между преобразованием поворота и центральной симметрией?

Для того чтобы установить связь между преобразованием поворота и центральной симметрией, необходимо рассмотреть определения обоих этих геометрических преобразований.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (называемой центром симметрии) — это такое преобразование, при котором любая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ таким образом, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это равносильно тому, что точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, и расстояния от центра симметрии до исходной и конечной точек равны ($OM = OM'$). Векторно это условие можно записать как $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Поворот вокруг точки $O$ (называемой центром поворота) на угол $\alpha$ — это такое преобразование, при котором любая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$, для которой выполняются два условия: расстояние до центра поворота сохраняется ($OM = OM'$) и угол между векторами $\vec{OM}$ и $\vec{OM'}$ равен углу поворота $\alpha$ ($\angle MOM' = \alpha$).

Теперь рассмотрим частный случай поворота, когда угол поворота $\alpha = 180^{\circ}$ (или $\pi$ радиан). Пусть точка $M$ переходит в точку $M'$ в результате поворота на $180^{\circ}$ вокруг центра $O$. В этом случае:

1. Расстояние $OM$ равно расстоянию $OM'$, как и при любом повороте.

2. Угол $\angle MOM'$ равен $180^{\circ}$.

Условие, что угол между лучами $OM$ и $OM'$ составляет $180^{\circ}$, означает, что эти лучи являются противоположно направленными, то есть лежат на одной прямой. Таким образом, точки $M$, $O$ и $M'$ лежат на одной прямой, причем $O$ находится между $M$ и $M'$.

Совокупность этих двух условий (точки $M, O, M'$ лежат на одной прямой и $OM=OM'$) является точным определением центральной симметрии относительно точки $O$.

Следовательно, центральная симметрия является частным случаем преобразования поворота.

Ответ: Центральная симметрия с центром в точке $O$ является преобразованием поворота вокруг этой же точки $O$ на угол $180^{\circ}$.