Номер 2.44, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. Острый угол равнобокой трапеции равен 60°. Докажите, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны.

Рассмотрим равнобокую трапецию ABCD, в которой AD и BC — основания, причём AD > BC, а AB и CD — боковые стороны (AB = CD). По условию, острый угол при основании равен 60°, то есть $∠BAD = ∠CDA = 60^\circ$.

Нам нужно доказать, что меньшее основание равно разности большего основания и боковой стороны, то есть $BC = AD - CD$.

Доказательство:

1. Проведём из вершины C прямую CE, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с большим основанием AD в точке E.

2. Рассмотрим четырёхугольник ABCE. По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$, а значит $BC \parallel AE$. По построению, $AB \parallel CE$. Следовательно, четырёхугольник ABCE является параллелограммом.

3. Из свойств параллелограмма следует, что его противоположные стороны равны: $BC = AE$ и $AB = CE$.

4. Рассмотрим треугольник CDE.

- Поскольку трапеция ABCD равнобокая, её боковые стороны равны: $AB = CD$. Из пункта 3 мы знаем, что $AB = CE$. Таким образом, получаем, что $CD = CE$. Это означает, что треугольник CDE является равнобедренным.

- Угол CDE является углом при основании трапеции, поэтому $∠CDE = ∠CDA = 60^\circ$.

- Так как $AB \parallel CE$ и AD является секущей, то углы $∠CED$ и $∠BAD$ являются соответственными. Следовательно, $∠CED = ∠BAD = 60^\circ$.

- В треугольнике CDE два угла равны 60° ($∠CDE = 60^\circ$ и $∠CED = 60^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому третий угол $∠DCE = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

- Так как все углы треугольника CDE равны 60°, он является равносторонним.

5. Из того, что треугольник CDE равносторонний, следует, что все его стороны равны: $ED = CD = CE$.

6. Большее основание AD можно представить как сумму отрезков AE и ED: $AD = AE + ED$.

7. Теперь подставим в это равенство значения, которые мы нашли ранее:

- Из пункта 3 известно, что $AE = BC$.

- Из пункта 5 известно, что $ED = CD$.

Получаем равенство: $AD = BC + CD$.

8. Выразим из этого равенства меньшее основание BC: $BC = AD - CD$.

Таким образом, мы доказали, что меньшее основание равнобокой трапеции с острым углом 60° равно разности большего основания и боковой стороны.

Ответ: Утверждение доказано.