Номер 2.50, страница 82 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.50. Проведены две прямые, проходящие через центр равностороннего треугольника и образующие между собой угол $60^\circ$. Покажите, что отрезки этих прямых, ограниченные сторонами треугольника, равны между собой.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством симметрии равностороннего треугольника, а именно поворотом вокруг его центра.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ с центром в точке $O$. Центр равностороннего треугольника является его центром симметрии. В частности, поворот вокруг точки $O$ на угол $120°$ (или $-120°$, то есть $240°$) совмещает треугольник с самим собой. Обозначим такой поворот как $R_O^{120°}$. При этом повороте вершины переходят друг в друга (например, $A \to B \to C \to A$), и стороны также переходят друг в друга ($AB \to BC \to CA \to AB$).

Пусть через центр $O$ проведены две прямые $l_1$ и $l_2$, образующие между собой угол $60°$. Пусть $PQ$ — отрезок прямой $l_1$, ограниченный сторонами треугольника, а $RS$ — отрезок прямой $l_2$, также ограниченный сторонами треугольника. Нам нужно доказать, что $PQ = RS$.

Рассмотрим одну из прямых, например $l_2$, и повернем ее вокруг центра $O$ на угол, который является углом симметрии треугольника, то есть на $120°$ или на $-120°$. Покажем, что всегда можно выбрать такое направление поворота ($\theta = \pm 120°$), чтобы прямая $l_2$ перешла в прямую $l_1$.

Пусть прямая $l_1$ задается некоторым углом наклона $\alpha$, а прямая $l_2$ — углом $\beta$. Углы можно рассматривать по модулю $180°$. По условию, угол между прямыми равен $60°$, что означает $\beta = \alpha + 60°$ или $\beta = \alpha - 60°$.

• Если $\beta = \alpha - 60°$, то при повороте на $120°$ прямая $l_2$ перейдет в прямую с углом наклона $\beta' = \beta + 120° = (\alpha - 60°) + 120° = \alpha + 60°$. Это не прямая $l_1$. Однако при повороте на $-120°$ прямая $l_2$ перейдет в прямую с углом наклона $\beta'' = \beta - 120° = (\alpha - 60°) - 120° = \alpha - 180°$, что соответствует углу $\alpha$. Таким образом, $R_O^{-120°}(l_2) = l_1$.
• Если $\beta = \alpha + 60°$, то при повороте на $120°$ прямая $l_2$ перейдет в прямую с углом наклона $\beta' = \beta + 120° = (\alpha + 60°) + 120° = \alpha + 180°$, что соответствует углу $\alpha$. Таким образом, $R_O^{120°}(l_2) = l_1$.

Итак, всегда существует такой поворот $R$ (на $120°$ или $-120°$), который отображает прямую $l_2$ на прямую $l_1$. Выберем этот поворот $R$.

Теперь применим этот поворот $R$ к отрезку $RS$.

1. Поворот является изометрией, то есть сохраняет расстояния. Следовательно, длина отрезка $RS$ равна длине его образа $R(RS)$. Обозначим образ отрезка $RS$ как $R'S'$. Таким образом, $RS = R'S'$.
2. Так как точки $R$ и $S$ лежат на прямой $l_2$, их образы $R'$ и $S'$ будут лежать на образе прямой $l_2$, то есть на прямой $R(l_2)$. Как мы установили, $R(l_2) = l_1$. Значит, точки $R'$ и $S'$ лежат на прямой $l_1$.
3. Точки $R$ и $S$ по условию лежат на сторонах треугольника $ABC$. Их образы $R'$ и $S'$ при повороте $R$ будут лежать на образе контура треугольника $R(\triangle ABC)$. Так как поворот $R$ является поворотом симметрии для треугольника $ABC$, он отображает треугольник на себя: $R(\triangle ABC) = \triangle ABC$. Это означает, что точки $R'$ и $S'$ также лежат на сторонах треугольника $ABC$.

Из пунктов 2 и 3 следует, что $R'S'$ — это отрезок, который лежит на прямой $l_1$ и концы которого принадлежат сторонам треугольника $ABC$. По определению, таким отрезком является $PQ$. Следовательно, отрезок $R'S'$ и отрезок $PQ$ совпадают.

Таким образом, мы получили цепочку равенств: $RS = R'S'$ (из свойства сохранения длины при повороте) и $R'S' = PQ$ (так как они являются одним и тем же отрезком). Отсюда следует, что $PQ = RS$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки данных прямых, ограниченные сторонами равностороннего треугольника, равны между собой.