Номер 2.45, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Дана внутренняя точка $C$ угла $AOB$. Постройте отрезок $DE$ так, чтобы он точкой $C$ делился пополам и $D \in OA$, $E \in OB$. Решите задачу, используя преобразование:

1) поворота;

2) параллельного переноса.

1) поворота;

Метод решения задачи с использованием поворота (в данном случае, центральной симметрии) основан на том, что точка $C$ является серединой отрезка $DE$. Это означает, что точка $E$ является образом точки $D$ при повороте на $180^\circ$ вокруг точки $C$ (и наоборот, $D$ является образом $E$). Обозначим это преобразование как $R_C^{180^\circ}$.

По условию, точка $D$ лежит на луче $OA$ ($D \in OA$), а точка $E$ лежит на луче $OB$ ($E \in OB$).

Поскольку $E = R_C^{180^\circ}(D)$ и $D \in OA$, точка $E$ должна принадлежать образу луча $OA$ при указанном повороте. Обозначим образ луча $OA$ как $O'A'$.

Таким образом, точка $E$ является точкой пересечения луча $OB$ и образа луча $OA$, то есть $E = OB \cap O'A'$. Это позволяет нам построить искомую точку $E$, а затем и точку $D$.

Анализ и построение:

1. Построим образ луча $OA$ при центральной симметрии относительно точки $C$. Образом луча является луч. Чтобы его построить, достаточно построить образ его начальной точки $O$ и определить его направление.
2. Найдем точку $O'$, симметричную точке $O$ относительно $C$. Для этого проводим луч $OC$ и откладываем на нем от точки $C$ отрезок $CO'$, равный $OC$.
3. Образ луча $OA$ при повороте на $180^\circ$ — это луч $O'A'$, который начинается в точке $O'$ и направлен противоположно лучу $OA$ (то есть, луч $O'A'$ параллелен лучу $OA$ и противонаправлен ему).
4. Находим точку пересечения $E$ построенного луча $O'A'$ и луча $OB$. Это и есть один из концов искомого отрезка.
5. Чтобы найти второй конец отрезка, точку $D$, соединяем точки $E$ и $C$ и продолжаем отрезок за точку $C$ на его длину, то есть находим точку $D$ на луче $EC$ такую, что $DC = EC$. По построению, точка $D$ будет лежать на луче $OA$.
6. Отрезок $DE$ — искомый.

Доказательство: По построению точка $E$ лежит на луче $OB$. Также по построению $E$ лежит на образе луча $OA$ при симметрии относительно $C$. Это означает, что ее прообраз, точка $D$, лежит на луче $OA$. Так как $D$ является прообразом $E$ при симметрии относительно $C$ (или, что то же самое, мы построили $D$ так, что $C$ — середина $DE$), то отрезок $DE$ делится точкой $C$ пополам. Следовательно, отрезок $DE$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построение описано выше. Оно заключается в нахождении точки $E$ как пересечения луча $OB$ с образом луча $OA$ при симметрии относительно точки $C$, а затем в построении точки $D$ как симметричной $E$ относительно $C$.

2) параллельного переноса.

Этот метод основан на векторном представлении условия задачи. Если $O$ — вершина угла, то условие, что $C$ — середина отрезка $DE$, можно записать в векторной форме: $\vec{OC} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE}}{2}$.

Отсюда следует, что $2\vec{OC} = \vec{OD} + \vec{OE}$.

Введем вспомогательную точку $C'$ такую, что $\vec{OC'} = 2\vec{OC}$. Геометрически это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $OC'$. Тогда равенство принимает вид: $\vec{OC'} = \vec{OD} + \vec{OE}$.

Это векторное равенство означает, что четырехугольник $ODC'E$ — параллелограмм, где $OC'$ — диагональ.

Из свойства параллелограмма следует, что его противоположные стороны параллельны, в частности, сторона $EC'$ параллельна стороне $OD$ (которая лежит на луче $OA$).

Это свойство позволяет нам выполнить построение. Мы знаем, что точка $E$ лежит на луче $OB$. Также мы знаем, что она должна лежать на прямой, проходящей через точку $C'$ параллельно лучу $OA$.

Анализ и построение:

1. Строим точку $C'$, удваивая вектор $\vec{OC}$. Для этого проводим луч $OC$ и откладываем на нем от точки $O$ отрезок $OC'$, равный $2 \cdot OC$ (или, что то же самое, откладываем от точки $C$ отрезок $CC'$, равный $OC$).
2. Через точку $C'$ проводим прямую $l$, параллельную лучу $OA$.
3. Находим точку пересечения $E$ прямой $l$ и луча $OB$. Это один из концов искомого отрезка.
4. Чтобы найти второй конец, точку $D$, соединяем $E$ и $C$ и продолжаем отрезок за точку $C$ на его длину, то есть находим точку $D$ на луче $EC$ такую, что $DC = EC$.
5. Отрезок $DE$ — искомый.

Доказательство: По построению $E \in OB$. Также по построению прямая $EC'$ параллельна $OA$. Пусть $O$ — начало координат. Мы построили $C'$ так, что $\vec{OC'} = 2\vec{OC}$. Мы построили $E$ так, что $\vec{C'E}$ параллелен $\vec{OA}$. Это означает, что $\vec{OE} - \vec{OC'} = -k\vec{OA}$ для некоторого числа $k$. Мы построили $D$ так, что $C$ — середина $DE$, то есть $\vec{OC} = \frac{\vec{OD} + \vec{OE}}{2}$, откуда $\vec{OD} = 2\vec{OC} - \vec{OE} = \vec{OC'} - \vec{OE} = k\vec{OA}$. Это означает, что точка $D$ лежит на прямой $OA$. Можно показать, что при расположении точки $C$ внутри угла $AOB$ точка $D$ окажется именно на луче $OA$. Таким образом, построенный отрезок $DE$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: Построение описано выше. Оно заключается в нахождении точки $E$ как пересечения луча $OB$ с прямой, проходящей через точку $C'$ ($C$ - середина $OC'$) параллельно $OA$, а затем в построении точки $D$ как симметричной $E$ относительно $C$.