Номер 2.39, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.39. Постройте трапецию по основаниям и двум диагоналям.

Анализ

Пусть искомая трапеция $ABCD$ построена. $AD$ и $BC$ — её основания, причём $AD = a$, $BC = b$. Диагонали $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Основания трапеции параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Применим метод параллельного переноса. Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную диагонали $BD$. Пусть эта прямая пересекает продолжение основания $AD$ в точке $E$. Рассмотрим получившийся четырёхугольник $BCED$. В нём $BC \parallel DE$ (так как $BC \parallel AE$) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, $BCED$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что $DE = BC = b$ и $CE = BD = d_2$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны нам известны:

• $AC = d_1$ (по условию).
• $CE = d_2$ (как доказано выше).
• $AE = AD + DE = a + b$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACE$ по трём сторонам ($d_1$, $d_2$, $a+b$), а затем к построению самой трапеции.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AE$, равный по длине сумме оснований $a+b$.
2. Строим треугольник $ACE$ по трем сторонам: $AE = a+b$, $AC = d_1$, $CE = d_2$. Это делается с помощью циркуля: проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d_1$, и окружность с центром в точке $E$ и радиусом $d_2$. Точка их пересечения будет вершиной $C$.
3. На отрезке $AE$ от точки $A$ откладываем отрезок $AD$ длиной $a$. Это будет третья вершина трапеции.
4. Через точку $C$ проводим прямую, параллельную прямой $AE$.
5. На этой прямой откладываем отрезок $CB$ длиной $b$ так, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был выпуклым (вектор $\vec{CB}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{DA}$).
6. Последовательно соединяем точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырёхугольник $ABCD$ является искомой трапецией.

Доказательство

Из построения следует, что $BC \parallel AD$, так как прямая $BC$ была построена параллельно прямой $AE$, на которой лежит отрезок $AD$. Длины оснований по построению равны $AD = a$ и $BC = b$. Следовательно, $ABCD$ — трапеция с заданными основаниями.

Диагональ $AC$ по построению является стороной треугольника $ACE$ и её длина равна $d_1$.

Рассмотрим четырёхугольник $BCED$. По построению $BC \parallel DE$ (так как обе стороны лежат на параллельных прямых) и $BC = b$. Отрезок $DE = AE - AD = (a+b) - a = b$. Таким образом, $BC = DE$. Поскольку две противоположные стороны четырёхугольника $BCED$ равны и параллельны, он является параллелограммом. Из этого следует, что $BD = CE$. А так как при построении треугольника $ACE$ мы взяли $CE = d_2$, то и диагональ $BD = d_2$.

Таким образом, построенный четырёхугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение в том и только в том случае, если возможно построить вспомогательный треугольник $ACE$. Для этого необходимо, чтобы длины его сторон удовлетворяли неравенству треугольника:

• $d_1 + d_2 > a + b$
• $d_1 + (a + b) > d_2$
• $d_2 + (a + b) > d_1$

Наиболее важным является первое условие: $d_1 + d_2 > a + b$, так как оно гарантирует, что треугольник невырожденный. Два других условия, которые можно записать как $|d_1 - d_2| < a + b$, обычно выполняются для реальных трапеций.

Если эти условия выполнены, то треугольник $ACE$ строится однозначно (с точностью до выбора полуплоскости для вершины $C$ относительно прямой $AE$). Выбор другой полуплоскости приводит к построению трапеции, симметричной первой, что не считается другим решением. Следовательно, при выполнении указанных условий задача имеет единственное решение.

Ответ: Построение трапеции сводится к построению вспомогательного треугольника со сторонами, равными сумме оснований ($a+b$) и двум диагоналям ($d_1$, $d_2$). После построения этого треугольника вершины трапеции определяются однозначно. Задача имеет единственное решение при условии, что сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований ($d_1 + d_2 > a + b$).