Номер 2.37, страница 81 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.37. Угол $ABC$ равен $\alpha$. При повороте его на $60^\circ$ около точки $B$ по направлению от точки $A$ в сторону точки $C$ получается угол $A_1BC_1$. Найдите углы $ABC_1$ и $CBA_1$.

По условию задачи, угол $ABC$ величиной $\alpha$ поворачивается на $60^\circ$ вокруг своей вершины $B$ по направлению от точки $A$ в сторону точки $C$. В результате поворота получается угол $A_1BC_1$.

Поворот является изометрическим преобразованием, поэтому он сохраняет величины углов. Следовательно, $\angle A_1BC_1 = \angle ABC = \alpha$.

По определению поворота, угол, образованный лучом и его образом, равен углу поворота. Таким образом, луч $BA$ переходит в луч $BA_1$ так, что $\angle ABA_1 = 60^\circ$, а луч $BC$ переходит в луч $BC_1$ так, что $\angle CBC_1 = 60^\circ$. Направление поворота "от А к С" задает ориентацию вращения.

Искомый угол $ABC_1$ образован лучами $BA$ и $BC_1$. Луч $BC_1$ является образом луча $BC$ после поворота на $60^\circ$. Так как поворот происходит в направлении от $A$ к $C$, луч $BC$ поворачивается в сторону, "удаляющуюся" от луча $BA$. Поэтому угол $ABC_1$ можно найти как сумму углов $ABC$ и $CBC_1$.

$\angle ABC_1 = \angle ABC + \angle CBC_1$

Подставляя известные значения, получаем:

$\angle ABC_1 = \alpha + 60^\circ$

Ответ: $\angle ABC_1 = \alpha + 60^\circ$.

Искомый угол $CBA_1$ образован лучами $BC$ и $BA_1$. Луч $BA_1$ является образом луча $BA$ после поворота на $60^\circ$ в направлении к лучу $BC$. Взаимное расположение лучей $BA_1$ и $BC$ зависит от соотношения величины угла $\alpha$ и угла поворота $60^\circ$. Поэтому необходимо рассмотреть два случая.

1. Случай, когда $\alpha \ge 60^\circ$.

В этом случае угол поворота не превышает исходный угол. При повороте луча $BA$ на $60^\circ$ в сторону $BC$, его образ, луч $BA_1$, окажется между лучами $BA$ и $BC$. Таким образом, угол $ABC$ равен сумме углов $ABA_1$ и $A_1BC$.

$\angle ABC = \angle ABA_1 + \angle A_1BC$

$\alpha = 60^\circ + \angle CBA_1$

Следовательно, $\angle CBA_1 = \alpha - 60^\circ$.

2. Случай, когда $\alpha < 60^\circ$.

В этом случае угол поворота больше исходного угла. При повороте луча $BA$ на $60^\circ$ в сторону $BC$, он "пересечет" луч $BC$. В результате луч $BC$ окажется между лучами $BA$ и $BA_1$. Таким образом, угол $ABA_1$ равен сумме углов $ABC$ и $CBA_1$.

$\angle ABA_1 = \angle ABC + \angle CBA_1$

$60^\circ = \alpha + \angle CBA_1$

Следовательно, $\angle CBA_1 = 60^\circ - \alpha$.

Оба случая можно объединить в одну формулу с использованием модуля разности:

$\angle CBA_1 = |\alpha - 60^\circ|$

Ответ: $\angle CBA_1 = |\alpha - 60^\circ|$ (то есть $\alpha - 60^\circ$ при $\alpha \ge 60^\circ$, и $60^\circ - \alpha$ при $\alpha < 60^\circ$).