Номер 2.30, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Преобразуйте прямую $AB$ параллельным переносом так, чтобы точка $A$ перешла в заданную точку $C$. Рассмотрите случай:

1) $C \notin AB$;

2) $C \in AB$.

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение задается вектором, который называется вектором переноса. По условию задачи, точка $A$ должна перейти в точку $C$, следовательно, вектором переноса является вектор $\vec{AC}$.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую (или в саму себя). Пусть исходная прямая — $l$ (прямая $AB$), а ее образ — прямая $l'$. Тогда должно выполняться условие $l' \parallel l$. Так как точка $A$ переходит в точку $C$, то точка $C$ должна принадлежать образу прямой, то есть $C \in l'$. Таким образом, задача сводится к построению прямой $l'$, проходящей через точку $C$ и параллельной прямой $AB$.

Рассмотрим два случая.

1) $C \notin AB$

В этом случае точка $C$ не принадлежит прямой $AB$. Образом прямой $AB$ будет прямая $l'$, которая проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$. Поскольку $C$ не лежит на прямой $AB$, прямая $l'$ не совпадает с прямой $AB$. Это будет новая, параллельная исходной, прямая. Чтобы найти образ любой другой точки $B$ на исходной прямой, нужно отложить от нее вектор $\vec{BB'} = \vec{AC}$. Точка $B'$ будет лежать на новой прямой $l'$.

Ответ: Образом прямой $AB$ является прямая, проходящая через точку $C$ и параллельная прямой $AB$.

2) $C \in AB$

В этом случае точка $C$ принадлежит прямой $AB$. Образом прямой $AB$ по-прежнему является прямая $l'$, которая проходит через точку $C$ и параллельна прямой $AB$. Но так как точка $C$ уже лежит на прямой $AB$, то единственная прямая, проходящая через $C$ и параллельная $AB$, — это сама прямая $AB$. Следовательно, прямая $AB$ отображается на себя.

Каждая точка прямой $AB$ смещается вдоль этой же прямой на вектор $\vec{AC}$. Образ любой точки $X$ на прямой $AB$ есть точка $X'$, такая, что $\vec{XX'} = \vec{AC}$. Поскольку векторы $\vec{XX'}$ и $\vec{AC}$ коллинеарны и лежат на одной прямой, точка $X'$ также будет принадлежать прямой $AB$.

Ответ: Прямая $AB$ отображается на себя.