Номер 2.26, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. Из точки $A$ к прямой $m$ опущены три различные наклонные $AB$, $AC$ и $AD$. Докажите, что три окружности, построенные на этих отрезках, как на диаметрах, имеют еще одну общую точку, отличную от $A$.

Пусть из точки $A$, не лежащей на прямой $m$, проведены три различные наклонные $AB$, $AC$ и $AD$, где точки $B, C, D$ лежат на прямой $m$. Обозначим окружности, построенные на этих наклонных как на диаметрах, через $\omega_{AB}$, $\omega_{AC}$ и $\omega_{AD}$ соответственно.

Все три окружности по определению проходят через точку $A$, так как она является концом каждого из диаметров. Нам необходимо доказать, что существует еще одна общая точка, отличная от $A$.

Опустим из точки $A$ перпендикуляр на прямую $m$. Пусть $H$ — основание этого перпендикуляра. Так как точка $A$ не лежит на прямой $m$, то $H$ является точкой на прямой $m$, отличной от $A$. По определению перпендикуляра, отрезок $AH$ перпендикулярен прямой $m$, а значит, и всем отрезкам, лежащим на этой прямой и начинающимся в точке $H$. Следовательно, углы $\angle AHB$, $\angle AHC$ и $\angle AHD$ являются прямыми, то есть равны $90^\circ$.

Рассмотрим каждую окружность в отдельности:

• Окружность $\omega_{AB}$ с диаметром $AB$: Так как угол $\angle AHB$ прямой, точка $H$ лежит на окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре. Это следует из свойства, что все точки, из которых данный отрезок виден под прямым углом, лежат на окружности с этим отрезком в качестве диаметра.
• Окружность $\omega_{AC}$ с диаметром $AC$: Аналогично, поскольку угол $\angle AHC$ прямой, точка $H$ также принадлежит этой окружности.
• Окружность $\omega_{AD}$ с диаметром $AD$: По той же причине, из-за того, что угол $\angle AHD$ прямой, точка $H$ лежит и на этой окружности.

Таким образом, мы показали, что точка $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на прямую $m$, — является общей точкой всех трех окружностей. Так как $A$ не лежит на $m$, то $A \neq H$. Следовательно, $H$ — это искомая вторая общая точка.

Ответ: Доказано, что три окружности имеют еще одну общую точку, отличную от $A$. Эта точка является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $m$.