Номер 2.27, страница 80 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Отрезок $AB$ длиной 4 см при повороте около точки $A$ на $90^{\circ}$ переходит в отрезок $AB_1$. Найдите длину отрезка $BB_1$.

По условию задачи отрезок $AB$ длиной 4 см при повороте около точки A на $90^\circ$ переходит в отрезок $AB_1$. Необходимо найти длину отрезка $BB_1$.

Рассмотрим треугольник $ABB_1$, который образуется точками A, B и образом точки B, точкой $B_1$.

1. Поворот является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Точка A — центр поворота, поэтому она остается неподвижной. Расстояние от центра поворота до любой точки фигуры сохраняется. Следовательно, расстояние от A до B равно расстоянию от A до $B_1$. Таким образом, мы имеем $AB = AB_1 = 4$ см.

2. Угол поворота по определению равен углу между отрезками, соединяющими центр поворота (A) с исходной точкой (B) и ее образом ($B_1$). Значит, угол $\angle BAB_1 = 90^\circ$.

В результате мы получили треугольник $ABB_1$, в котором:

• сторона $AB = 4$ см,
• сторона $AB_1 = 4$ см,
• угол между этими сторонами $\angle BAB_1 = 90^\circ$.

Это означает, что треугольник $ABB_1$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, где $AB$ и $AB_1$ — катеты, а искомый отрезок $BB_1$ — гипотенуза.

Для нахождения длины гипотенузы $BB_1$ воспользуемся теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$BB_1^2 = AB^2 + AB_1^2$

Подставим известные значения в формулу:

$BB_1^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

Чтобы найти длину $BB_1$, извлечем квадратный корень из 32:

$BB_1 = \sqrt{32}$

Упростим полученное значение:

$BB_1 = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$

Таким образом, длина отрезка $BB_1$ составляет $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.