Номер 2.22, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Выпуклый четырехугольник, в котором одна из диагоналей является осью симметрии, называется дельтоидом.

Определите свойства дельтоидов.

Дельтоид — это выпуклый четырехугольник, у которого одна из диагоналей является осью симметрии. Рассмотрим свойства такой фигуры.

Пусть дан дельтоид $ABCD$, в котором диагональ $AC$ является осью симметрии.

Из определения дельтоида и свойств осевой симметрии следуют его основные свойства.

Свойства сторон

Поскольку фигура симметрична относительно прямой $AC$, отражение вершины $B$ относительно этой прямой есть вершина $D$. Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Следовательно, расстояние от любой точки на оси симметрии до $B$ равно расстоянию до $D$. В частности, $AB = AD$ и $CB = CD$. Таким образом, у дельтоида имеются две различные пары равных смежных сторон.

Свойства углов

Осевая симметрия сохраняет углы. При симметрии относительно $AC$ угол $\angle ABC$ переходит в угол $\angle ADC$, значит, эти углы равны: $\angle ABC = \angle ADC$. Также ось симметрии $AC$ является биссектрисой углов при вершинах $A$ и $C$, то есть делит их пополам: $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DCA$. Углы $\angle BAD$ и $\angle BCD$ в общем случае не равны.

Свойства диагоналей

Рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$. Так как точка $B$ симметрична точке $D$ относительно прямой $AC$, то отрезок $BD$ перпендикулярен прямой $AC$. Таким образом, диагонали дельтоида взаимно перпендикулярны: $AC \perp BD$. Ось симметрии ($AC$) делит другую диагональ ($BD$) в точке их пересечения $O$ пополам: $BO = OD$. В общем случае диагональ $AC$ не делится пополам диагональю $BD$.

Площадь

Площадь любого четырехугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения их длин. Обозначив длины диагоналей $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$, получим формулу для площади дельтоида $S$: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$

Связь с окружностями

В любой дельтоид можно вписать окружность. Это следует из свойства, что суммы противолежащих сторон четырехугольника равны. Для дельтоида: $AB + CD = AD + BC$, так как $AB = AD$ и $CD = BC$. Центр вписанной окружности всегда лежит на оси симметрии.

Описать окружность около дельтоида можно не всегда. Это возможно тогда и только тогда, когда углы, лежащие против оси симметрии, прямые: $\angle B = \angle D = 90^\circ$. В этом случае сумма противоположных углов будет равна $180^\circ$ ($\angle B + \angle D = 180^\circ$ и $\angle A + \angle C = 180^\circ$), что является необходимым и достаточным условием для вписанного четырехугольника.

Ответ: Основные свойства дельтоида:

1. Две пары равных смежных сторон ($AB=AD$, $BC=CD$).

2. Углы между неравными сторонами равны ($\angle B = \angle D$).

3. Диагональ, являющаяся осью симметрии ($AC$), делит пополам углы при своих вершинах ($\angle A$ и $\angle C$).

4. Диагонали взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$).

5. Диагональ, являющаяся осью симметрии ($AC$), делит другую диагональ ($BD$) пополам.

6. В любой дельтоид можно вписать окружность.

7. Площадь дельтоида равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2$.