Номер 2.23, страница 77 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. Точки $A$ и $B$ расположены по одну сторону прямой $m$. На прямой $m$ найдите точку $K$ такую, чтобы сумма $AK+KB$ принимала наименьшее значение.

Для решения этой задачи используется геометрический метод, известный как принцип отражения (или задача Герона Александрийского). Суть метода заключается в том, чтобы свести задачу к нахождению кратчайшего расстояния между двумя точками.

Построение

1. Выберем одну из точек, например, точку $A$, и построим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $m$. Для этого из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую $m$ и на его продолжении за прямую $m$ отложим отрезок, равный расстоянию от $A$ до прямой.

2. Соединим полученную точку $A'$ с точкой $B$ отрезком прямой.

3. Точка, в которой отрезок $A'B$ пересекает прямую $m$, и есть искомая точка $K$.

Доказательство

По свойству осевой симметрии, для любой точки $K$, лежащей на оси симметрии (прямой $m$), расстояние до исходной точки $A$ равно расстоянию до ее симметричного образа $A'$. То есть, $AK = A'K$.

Таким образом, задача минимизации суммы $AK + KB$ эквивалентна задаче минимизации суммы $A'K + KB$.

Точки $A'$ и $B$ лежат по разные стороны от прямой $m$. Кратчайшее расстояние между двумя точками $A'$ и $B$ — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Сумма $A'K + KB$ будет наименьшей, если точки $A'$, $K$ и $B$ лежат на одной прямой. Это в точности соответствует нашему построению, где $K$ — точка пересечения отрезка $A'B$ с прямой $m$. В этом случае минимальное значение суммы равно длине отрезка $A'B$.

Для любой другой точки $K'$ на прямой $m$ (как показано на рисунке), точки $A'$, $K'$ и $B$ образуют треугольник. Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны: $A'K' + K'B > A'B$.

Поскольку $A'K' = AK'$ и $A'B = AK + KB$, мы получаем, что $AK' + K'B > AK + KB$.

Следовательно, точка $K$, найденная по описанному алгоритму, является единственной точкой на прямой $m$, для которой сумма расстояний $AK+KB$ минимальна.

Ответ: Искомая точка $K$ — это точка пересечения прямой $m$ с отрезком $A'B$, где $A'$ — точка, симметричная точке $A$ относительно прямой $m$ (или, что эквивалентно, точка пересечения $m$ с отрезком $AB'$, где $B'$ — точка, симметричная $B$ относительно $m$).