Вопросы, страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое преобразование поворота? Как оно определяется?

2. На какую фигуру отображается:

а) прямая, проходящая через центр поворота;

б) окружность, центр которой совпадает с центром поворота;

в) угол, вершина которого находится в центре поворота при повороте на определенный угол около данного центра?

3. Какие фигуры при повороте могут перейти сами в себя? Приведите пример и определите центр и величину угла поворота.

4. Что такое параллельный перенос? Как он определяется?

5. Докажите, что параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

6. Найдется ли неподвижная точка при параллельном переносе, а неподвижная фигура (т.е. фигура, переходящая сама в себя)?

1. Что такое преобразование поворота? Как оно определяется?

Преобразование поворота плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что выполняются два условия:
1. Расстояние от центра поворота $O$ до точки $M$ равно расстоянию от центра поворота до ее образа $M'$. Математически это записывается как $OM = OM'$.
2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу поворота $\alpha$. Математически это записывается как $\angle MOM' = \alpha$.

Таким образом, поворот определяется двумя параметрами: центром поворота (точкой $O$) и углом поворота ($\alpha$). Угол поворота также имеет направление (по часовой стрелке или против часовой стрелки). По умолчанию, положительным считается направление против часовой стрелки. Сам центр поворота $O$ является неподвижной точкой, то есть при повороте он отображается сам в себя.

Ответ: Поворот — это преобразование, при котором каждая точка фигуры поворачивается на заданный угол вокруг заданной точки (центра поворота). Он определяется центром поворота и углом поворота.

2. На какую фигуру отображается: а) прямая, проходящая через центр поворота; б) окружность, центр которой совпадает с центром поворота; в) угол, вершина которого находится в центре поворота при повороте на определенный угол около данного центра?

а) Прямая, проходящая через центр поворота $O$, при повороте на угол $\alpha$ вокруг этого центра отображается в другую прямую, также проходящую через центр поворота $O$. Новая прямая будет повернута относительно исходной на угол $\alpha$.
Ответ: В прямую, проходящую через тот же центр поворота.

б) Окружность, центр которой совпадает с центром поворота, при повороте на любой угол отображается сама в себя. Каждая точка окружности перемещается в другую точку на той же самой окружности.
Ответ: В саму себя.

в) Угол, вершина которого находится в центре поворота, при повороте на определенный угол отображается в другой угол с той же вершиной и той же градусной мерой. Стороны нового угла будут повернуты относительно сторон исходного на угол поворота.
Ответ: В угол с той же вершиной и равной градусной мерой.

3. Какие фигуры при повороте могут перейти сами в себя? Приведите пример и определите центр и величину угла поворота.

Фигуры, которые могут перейти сами в себя при повороте на угол, отличный от $360^\circ$, называются фигурами с поворотной (или вращательной) симметрией.

Пример: Квадрат.
Центр поворота: Точка пересечения его диагоналей.
Величина угла поворота: Квадрат переходит сам в себя при повороте на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$.

Другие примеры включают:
- Равносторонний треугольник (центр — точка пересечения медиан, угол — $120^\circ$, $240^\circ$).
- Окружность (центр — ее собственный центр, угол — любой).
- Правильный n-угольник (центр — центр описанной окружности, угол — $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, где $k$ — целое число от 1 до $n-1$).

Ответ: Фигуры, обладающие поворотной симметрией. Например, квадрат переходит в себя при повороте на $90^\circ$ вокруг точки пересечения диагоналей.

4. Что такое параллельный перенос? Как он определяется?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все ее точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Это преобразование определяется вектором переноса $\vec{a}$. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$ (т.е. $\vec{MM'} = \vec{a}$).
Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(v_x, v_y)$, то точка $M'$ будет иметь координаты $(x + v_x, y + v_y)$.

Ответ: Параллельный перенос — это сдвиг всех точек плоскости в одном направлении на одно и то же расстояние. Он определяется вектором переноса.

5. Докажите, что параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

Пусть имеются две произвольные точки $A$ и $B$. Пусть параллельный перенос задан вектором $\vec{v}$.
При этом переносе точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$.
По определению параллельного переноса, $\vec{AA'} = \vec{v}$ и $\vec{BB'} = \vec{v}$.
Следовательно, векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ равны, а значит они сонаправлены и их длины равны: $|\vec{AA'}| = |\vec{BB'}|$.

Рассмотрим четырехугольник $ABB'A'$. Поскольку векторы его противолежащих сторон $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ равны, то этот четырехугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма). В параллелограмме противолежащие стороны равны по длине. Следовательно, длина стороны $AB$ равна длине стороны $A'B'$.
Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ равно расстоянию между их образами $A'$ и $B'$, то есть $AB = A'B'$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что точки $A$, $B$ и их образы $A'$, $B'$ образуют параллелограмм $ABB'A'$, в котором противоположные стороны $AB$ и $A'B'$ равны.

6. Найдется ли неподвижная точка при параллельном переносе, а неподвижная фигура (т.е. фигура, переходящая сама в себя)?

Неподвижная точка:
Неподвижная точка — это точка, которая при преобразовании переходит сама в себя. При параллельном переносе на ненулевой вектор $\vec{v}$ каждая точка $M$ смещается в точку $M'$, причем $\vec{MM'} = \vec{v} \neq \vec{0}$. Следовательно, $M \neq M'$. Таким образом, при параллельном переносе на ненулевой вектор неподвижных точек нет. Неподвижные точки существуют только в случае тривиального переноса на нулевой вектор, когда все точки плоскости остаются на месте.

Неподвижная фигура:
Неподвижная фигура — это фигура, которая при преобразовании переходит сама в себя как единое целое. Такие фигуры существуют. Примером может служить любая прямая, параллельная вектору переноса $\vec{v}$. Каждая точка такой прямой при переносе переместится в другую точку, но эта новая точка также будет лежать на исходной прямой. В результате вся прямая как фигура отобразится сама на себя. Также неподвижной фигурой будет вся плоскость или любая полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми, которые параллельны вектору переноса.

Ответ: При параллельном переносе на ненулевой вектор неподвижных точек нет. Неподвижные фигуры есть, например, любая прямая, параллельная вектору переноса.