Страница 79 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое преобразование поворота? Как оно определяется?

2. На какую фигуру отображается:

а) прямая, проходящая через центр поворота;

б) окружность, центр которой совпадает с центром поворота;

в) угол, вершина которого находится в центре поворота при повороте на определенный угол около данного центра?

3. Какие фигуры при повороте могут перейти сами в себя? Приведите пример и определите центр и величину угла поворота.

4. Что такое параллельный перенос? Как он определяется?

5. Докажите, что параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

6. Найдется ли неподвижная точка при параллельном переносе, а неподвижная фигура (т.е. фигура, переходящая сама в себя)?

1. Что такое преобразование поворота? Как оно определяется?

Преобразование поворота плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это такое отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается в такую точку $M'$, что выполняются два условия:
1. Расстояние от центра поворота $O$ до точки $M$ равно расстоянию от центра поворота до ее образа $M'$. Математически это записывается как $OM = OM'$.
2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу поворота $\alpha$. Математически это записывается как $\angle MOM' = \alpha$.

Таким образом, поворот определяется двумя параметрами: центром поворота (точкой $O$) и углом поворота ($\alpha$). Угол поворота также имеет направление (по часовой стрелке или против часовой стрелки). По умолчанию, положительным считается направление против часовой стрелки. Сам центр поворота $O$ является неподвижной точкой, то есть при повороте он отображается сам в себя.

Ответ: Поворот — это преобразование, при котором каждая точка фигуры поворачивается на заданный угол вокруг заданной точки (центра поворота). Он определяется центром поворота и углом поворота.

2. На какую фигуру отображается: а) прямая, проходящая через центр поворота; б) окружность, центр которой совпадает с центром поворота; в) угол, вершина которого находится в центре поворота при повороте на определенный угол около данного центра?

а) Прямая, проходящая через центр поворота $O$, при повороте на угол $\alpha$ вокруг этого центра отображается в другую прямую, также проходящую через центр поворота $O$. Новая прямая будет повернута относительно исходной на угол $\alpha$.
Ответ: В прямую, проходящую через тот же центр поворота.

б) Окружность, центр которой совпадает с центром поворота, при повороте на любой угол отображается сама в себя. Каждая точка окружности перемещается в другую точку на той же самой окружности.
Ответ: В саму себя.

в) Угол, вершина которого находится в центре поворота, при повороте на определенный угол отображается в другой угол с той же вершиной и той же градусной мерой. Стороны нового угла будут повернуты относительно сторон исходного на угол поворота.
Ответ: В угол с той же вершиной и равной градусной мерой.

3. Какие фигуры при повороте могут перейти сами в себя? Приведите пример и определите центр и величину угла поворота.

Фигуры, которые могут перейти сами в себя при повороте на угол, отличный от $360^\circ$, называются фигурами с поворотной (или вращательной) симметрией.

Пример: Квадрат.
Центр поворота: Точка пересечения его диагоналей.
Величина угла поворота: Квадрат переходит сам в себя при повороте на углы $90^\circ$, $180^\circ$ и $270^\circ$.

Другие примеры включают:
- Равносторонний треугольник (центр — точка пересечения медиан, угол — $120^\circ$, $240^\circ$).
- Окружность (центр — ее собственный центр, угол — любой).
- Правильный n-угольник (центр — центр описанной окружности, угол — $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, где $k$ — целое число от 1 до $n-1$).

Ответ: Фигуры, обладающие поворотной симметрией. Например, квадрат переходит в себя при повороте на $90^\circ$ вокруг точки пересечения диагоналей.

4. Что такое параллельный перенос? Как он определяется?

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором все ее точки сдвигаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Это преобразование определяется вектором переноса $\vec{a}$. При параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$ (т.е. $\vec{MM'} = \vec{a}$).
Если точка $M$ имеет координаты $(x, y)$, а вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(v_x, v_y)$, то точка $M'$ будет иметь координаты $(x + v_x, y + v_y)$.

Ответ: Параллельный перенос — это сдвиг всех точек плоскости в одном направлении на одно и то же расстояние. Он определяется вектором переноса.

5. Докажите, что параллельный перенос сохраняет расстояние между точками.

Пусть имеются две произвольные точки $A$ и $B$. Пусть параллельный перенос задан вектором $\vec{v}$.
При этом переносе точка $A$ переходит в точку $A'$, а точка $B$ — в точку $B'$.
По определению параллельного переноса, $\vec{AA'} = \vec{v}$ и $\vec{BB'} = \vec{v}$.
Следовательно, векторы $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ равны, а значит они сонаправлены и их длины равны: $|\vec{AA'}| = |\vec{BB'}|$.

Рассмотрим четырехугольник $ABB'A'$. Поскольку векторы его противолежащих сторон $\vec{AA'}$ и $\vec{BB'}$ равны, то этот четырехугольник является параллелограммом (по признаку параллелограмма). В параллелограмме противолежащие стороны равны по длине. Следовательно, длина стороны $AB$ равна длине стороны $A'B'$.
Таким образом, расстояние между точками $A$ и $B$ равно расстоянию между их образами $A'$ и $B'$, то есть $AB = A'B'$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что точки $A$, $B$ и их образы $A'$, $B'$ образуют параллелограмм $ABB'A'$, в котором противоположные стороны $AB$ и $A'B'$ равны.

6. Найдется ли неподвижная точка при параллельном переносе, а неподвижная фигура (т.е. фигура, переходящая сама в себя)?

Неподвижная точка:
Неподвижная точка — это точка, которая при преобразовании переходит сама в себя. При параллельном переносе на ненулевой вектор $\vec{v}$ каждая точка $M$ смещается в точку $M'$, причем $\vec{MM'} = \vec{v} \neq \vec{0}$. Следовательно, $M \neq M'$. Таким образом, при параллельном переносе на ненулевой вектор неподвижных точек нет. Неподвижные точки существуют только в случае тривиального переноса на нулевой вектор, когда все точки плоскости остаются на месте.

Неподвижная фигура:
Неподвижная фигура — это фигура, которая при преобразовании переходит сама в себя как единое целое. Такие фигуры существуют. Примером может служить любая прямая, параллельная вектору переноса $\vec{v}$. Каждая точка такой прямой при переносе переместится в другую точку, но эта новая точка также будет лежать на исходной прямой. В результате вся прямая как фигура отобразится сама на себя. Также неподвижной фигурой будет вся плоскость или любая полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми, которые параллельны вектору переноса.

Ответ: При параллельном переносе на ненулевой вектор неподвижных точек нет. Неподвижные фигуры есть, например, любая прямая, параллельная вектору переноса.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

1. Дан отрезок $AB$ и центр поворота $O$, не лежащий на этом отрезке. Постройте образ этого отрезка при повороте на: а) $30^\circ$; б) $60^\circ$; в) $120^\circ$; г) $180^\circ$.

2. Постройте треугольник $ABC$ и образ этого треугольника около вершины $A$ при повороте на $60^\circ$ против хода часовой стрелки.

3. Даны точки $A$, $B$, $C$. При параллельном переносе точка $A$ переходит в точку $B$. Постройте образ $C'$ точки $C$ при этом параллельном переносе.

1. Для построения образа отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ на заданный угол $\alpha$, необходимо выполнить поворот его концов, точек $A$ и $B$, на тот же угол вокруг того же центра. Полученные точки $A'$ и $B'$ и будут концами искомого отрезка $A'B'$.
Построение образа точки (например, $A$) при повороте вокруг центра $O$ на угол $\alpha$ выполняется следующим образом:
1. Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$ отрезком $OA$.
2. С помощью транспортира от луча $OA$ откладываем угол, равный $\alpha$, в заданном направлении (по умолчанию — против часовой стрелки). Получаем новый луч $OA'$.
3. С помощью циркуля откладываем на луче $OA'$ отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $OA$.
4. Точка $A'$ является образом точки $A$ при данном повороте.
Аналогичные действия выполняются для точки $B$, чтобы найти ее образ $B'$. Соединив $A'$ и $B'$, получаем искомый образ отрезка.

а) 30°; б) 60°; в) 120°; г) 180°
На рисунке ниже показан исходный отрезок $AB$ и центр поворота $O$. Для каждого угла поворота построен соответствующий образ отрезка $AB$:

• при повороте на 30° — отрезок $A_1B_1$ (красный);
• при повороте на 60° — отрезок $A_2B_2$ (зеленый);
• при повороте на 120° — отрезок $A_3B_3$ (синий);
• при повороте на 180° — отрезок $A_4B_4$ (фиолетовый).

Ответ: Построение образов отрезка при повороте на разные углы показано на рисунке.

2. Для построения образа треугольника $ABC$ при повороте вокруг вершины $A$ на 60° против часовой стрелки, нужно повернуть две другие вершины, $B$ и $C$, вокруг точки $A$ на заданный угол. Вершина $A$, являясь центром поворота, переходит сама в себя ($A' = A$).
Построение образа точки B:
1. Проводим отрезок $AB$.
2. От луча $AB$ против часовой стрелки откладываем угол $60°$.
3. На новом луче откладываем отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$. Точка $B'$ — образ точки $B$. (Треугольник $ABB'$ является равносторонним).
Построение образа точки C:
1. Проводим отрезок $AC$.
2. От луча $AC$ против часовой стрелки откладываем угол $60°$.
3. На новом луче откладываем отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$. Точка $C'$ — образ точки $C$. (Треугольник $ACC'$ является равносторонним).
Соединив точки $A$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $AB'C'$.

Ответ: Искомый треугольник $AB'C'$ построен путем поворота вершин $B$ и $C$ вокруг вершины $A$ на 60° против часовой стрелки, как показано на рисунке.

3. Параллельный перенос, при котором точка $A$ переходит в точку $B$, задается вектором переноса $\vec{v} = \vec{AB}$. Чтобы найти образ $C'$ точки $C$ при этом же параллельном переносе, необходимо отложить от точки $C$ вектор $\vec{CC'}$, равный вектору $\vec{AB}$.
Это означает, что $\vec{CC'} = \vec{AB}$. Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Геометрически это означает, что четырехугольник $ABC'C$ является параллелограммом.
Построение точки $C'$ можно выполнить с помощью циркуля и линейки:
1. Соединяем точки $A$ и $B$ (вектор переноса), а также точки $A$ и $C$.
2. Измеряем циркулем расстояние $AB$. Проводим дугу окружности с центром в точке $C$ и радиусом, равным $AB$.
3. Измеряем циркулем расстояние $AC$. Проводим дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом, равным $AC$.
4. Точка пересечения этих двух дуг и будет искомой точкой $C'$.
5. Соединяем $C$ и $C'$, а также $B$ и $C'$, чтобы увидеть полученный параллелограмм $ABC'C$.

Ответ: Точка $C'$ построена таким образом, что $\vec{CC'} = \vec{AB}$, в результате чего четырехугольник $ABC'C$ является параллелограммом, как показано на рисунке.