Страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое преобразование называется движением?

2. Докажите, что при движении отрезок отображается в равный себе отрезок.

3. Какой фигурой при движении будет образ: а) прямого угла; б) острого угла; в) треугольника; г) окружности ?

4. Какая связь существует между движением и наложением?

1. Какое преобразование называется движением?

Движением (или изометрией) плоскости называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками.
Это означает, что если произвольные точки $A$ и $B$ плоскости при движении переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то расстояние между точками $A'$ и $B'$ равно расстоянию между точками $A$ и $B$. Математически это записывается так: $A'B' = AB$.

Ответ: Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

2. Докажите, что при движении отрезок отображается в равный себе отрезок.

Пусть дано движение $f$ и отрезок $AB$. Пусть это движение отображает концы отрезка, точки $A$ и $B$, в точки $A'$ и $B'$ соответственно.
1. По определению движения, расстояние между образами точек равно расстоянию между их прообразами. Следовательно, длина отрезка $A'B'$ равна длине отрезка $AB$: $A'B' = AB$.
2. Теперь докажем, что образом всего отрезка $AB$ является именно отрезок $A'B'$. Возьмем любую точку $C$, лежащую на отрезке $AB$. Для любой такой точки выполняется равенство: $AC + CB = AB$.
Пусть движение $f$ отображает точку $C$ в точку $C'$. Поскольку движение сохраняет расстояния, то $A'C' = AC$ и $C'B' = CB$.
Подставим эти равенства в предыдущее: $A'C' + C'B' = AB$.
Так как мы уже установили, что $A'B' = AB$, то получаем: $A'C' + C'B' = A'B'$.
Это равенство является признаком того, что точка $C'$ лежит на отрезке $A'B'$. Таким образом, любая точка отрезка $AB$ переходит в точку отрезка $A'B'$.
3. Так как движение является взаимно однозначным отображением, то и любая точка отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки отрезка $AB$.
Следовательно, при движении отрезок $AB$ отображается в отрезок $A'B'$, причем их длины равны, что и требовалось доказать.

Ответ: При движении отрезок отображается в равный ему отрезок, так как движение сохраняет расстояния между концами отрезка и свойство точек лежать на отрезке между двумя другими точками.

3. Какой фигурой при движении будет образ: а) прямого угла; б) острого угла; в) треугольника; г) окружности?

Движение сохраняет не только расстояния, но и углы, параллельность прямых и другие геометрические свойства. Поэтому образ фигуры при движении является фигурой, равной (конгруэнтной) исходной.
а) прямого угла
Движение сохраняет величину углов. Прямой угол имеет меру 90 градусов. Следовательно, его образом при движении будет угол, также имеющий меру 90 градусов, то есть прямой угол.
б) острого угла
Острый угол имеет меру меньше 90 градусов. Так как движение сохраняет величину углов, образом острого угла будет острый угол той же самой величины.
в) треугольника
Треугольник задается тремя вершинами. При движении вершины треугольника $ABC$ переходят в точки $A'$, $B'$, $C'$. Стороны треугольника (отрезки $AB$, $BC$, $AC$) переходят в равные им отрезки $A'B'$, $B'C'$, $A'C'$. Таким образом, образом треугольника будет равный (конгруэнтный) ему треугольник.
г) окружности
Окружность определяется центром $O$ и радиусом $r$. При движении центр $O$ перейдет в некоторую точку $O'$. Любая точка $M$ на окружности находится на расстоянии $r$ от центра $O$. Её образ $M'$ будет находиться на том же расстоянии $r$ от образа центра $O'$, так как движение сохраняет расстояния ($O'M' = OM = r$). Следовательно, образом окружности будет окружность с тем же радиусом и новым центром.

Ответ: а) Образом прямого угла будет прямой угол; б) образом острого угла будет острый угол той же величины; в) образом треугольника будет равный ему треугольник; г) образом окружности будет окружность того же радиуса.

4. Какая связь существует между движением и наложением?

Связь между движением и наложением очень тесная. По сути, "движение" является строгим математическим определением интуитивного понятия "наложение".
Наложение — это мысленная или физическая операция, при которой одна фигура перемещается в пространстве без изменения формы и размеров и совмещается с другой фигурой. Если фигуры можно совместить наложением, их называют равными.
Движение — это геометрическое преобразование, которое формализует это понятие. Любое наложение можно описать как одно из движений (параллельный перенос, поворот, симметрия).
Таким образом, две фигуры равны (конгруэнтны) тогда и только тогда, когда существует движение, переводящее одну фигуру в другую. Можно сказать, что движение — это математическая модель наложения.

Ответ: Движение — это строгая математическая формализация интуитивного понятия наложения. Две фигуры можно совместить наложением тогда и только тогда, когда существует движение, отображающее одну фигуру на другую.

Вырежьте из цветной бумаги равные между собой фигуры.

а) Две из них расположите так, чтобы одна переходила в другую с помощью:

1) центральной симметрии;

2) осевой симметрии;

3) преобразования поворота;

4) параллельного переноса.

б) Как показано на рисунке 2.16, три из них расположите так, чтобы можно было применить:

1) поворот и центральную симметрию;

2) поворот и осевую симметрию;

3) поворот и параллельный перенос;

4) параллельный перенос и осевую симметрию;

5) параллельный перенос и центральную симметрию.

Для решения задачи мы будем использовать в качестве примера произвольную несимметричную фигуру — прямоугольный треугольник. Все преобразования будут показаны наглядно с помощью рисунков.

а)

Возьмем две равные фигуры (два равных треугольника) $F_1$ и $F_2$.

1) центральной симметрии;

Центральная симметрия – это преобразование, при котором каждая точка фигуры $F_1$ переходит в точку фигуры $F_2$, симметричную ей относительно заданного центра симметрии $O$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Центральная симметрия эквивалентна повороту на $180^\circ$ вокруг центра симметрии. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ центральной симметрией относительно точки $O$.

Ответ: Фигуры $F_1$ и $F_2$ расположены так, что одна является образом другой при центральной симметрии относительно точки $O$.

2) осевой симметрии;

Осевая симметрия – это преобразование, при котором каждая точка фигуры $F_1$ переходит в точку фигуры $F_2$, симметричную ей относительно заданной оси симметрии $l$. Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно оси $l$, если отрезок $AA'$ перпендикулярен оси $l$ и делится ею пополам. Фигура $F_2$ является "зеркальным отражением" фигуры $F_1$. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ осевой симметрией относительно прямой $l$.

Ответ: Фигуры $F_1$ и $F_2$ расположены так, что одна является образом другой при осевой симметрии относительно прямой $l$.

3) преобразования поворота;

Поворот – это преобразование, при котором каждая точка фигуры $F_1$ поворачивается на один и тот же угол $\alpha$ вокруг заданного центра поворота $O$. При этом расстояние от любой точки до центра поворота сохраняется. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ поворотом на угол $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $O$.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ поворотом вокруг центра $O$ на угол $90^\circ$.

4) параллельного переноса.

Параллельный перенос – это преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это движение задается вектором $\vec{a}$. Каждая точка $A$ фигуры $F_1$ переходит в точку $A'$ фигуры $F_2$ так, что вектор $\vec{AA'} = \vec{a}$. На рисунке фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из фигуры $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$.

б)

Расположим три равные фигуры $F_1, F_2$ и $F_3$ так, чтобы между ними можно было установить указанные в задании отношения. "Применить" преобразование означает, что одна из фигур может быть получена из другой с помощью этого преобразования.

1) поворот и центральную симметрию;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ поворотом, а $F_3$ — из $F_1$ центральной симметрией. Поскольку центральная симметрия является частным случаем поворота (на $180^\circ$), можно было бы показать только один такой поворот. Однако для наглядности покажем два разных преобразования: поворот на $90^\circ$ и центральную симметрию.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из $F_1$ поворотом на $90^\circ$ вокруг центра $O_1$. Фигура $F_3$ получена из $F_1$ центральной симметрией относительно центра $O_2$.

2) поворот и осевую симметрию;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ поворотом, а $F_3$ — из $F_1$ осевой симметрией. На рисунке $F_2$ получена из $F_1$ поворотом вокруг точки $O$ на $90^\circ$, а $F_3$ — симметрией $F_1$ относительно оси $l$.

Ответ: В данном расположении $F_2$ является результатом поворота $F_1$ относительно $O$, а $F_3$ — результатом осевой симметрии $F_1$ относительно прямой $l$.

3) поворот и параллельный перенос;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ поворотом, а $F_3$ — из $F_1$ параллельным переносом. На рисунке $F_2$ получена из $F_1$ поворотом вокруг точки $O$, а $F_3$ — параллельным переносом $F_1$ на вектор $\vec{a}$.

Ответ: В данном расположении $F_2$ — результат поворота $F_1$ относительно $O$, а $F_3$ — результат параллельного переноса $F_1$ на вектор $\vec{a}$.

4) параллельный перенос и осевую симметрию;

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ параллельным переносом, а $F_3$ — из $F_1$ осевой симметрией. Такое расположение часто встречается в орнаментах. Комбинация этих двух преобразований (когда ось симметрии параллельна вектору переноса) называется скользящей симметрией.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, а фигура $F_3$ — осевой симметрией $F_1$ относительно прямой $l$.

5) параллельный перенос и центральную симметрию.

Расположим фигуры так, чтобы $F_2$ была получена из $F_1$ параллельным переносом, а $F_3$ — из $F_1$ центральной симметрией.

Ответ: Фигура $F_2$ получена из $F_1$ параллельным переносом на вектор $\vec{a}$, а фигура $F_3$ — центральной симметрией $F_1$ относительно точки $O$.