Вопросы, страница 85 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какое преобразование называется движением?

2. Докажите, что при движении отрезок отображается в равный себе отрезок.

3. Какой фигурой при движении будет образ: а) прямого угла; б) острого угла; в) треугольника; г) окружности ?

4. Какая связь существует между движением и наложением?

1. Какое преобразование называется движением?

Движением (или изометрией) плоскости называется преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками.
Это означает, что если произвольные точки $A$ и $B$ плоскости при движении переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то расстояние между точками $A'$ и $B'$ равно расстоянию между точками $A$ и $B$. Математически это записывается так: $A'B' = AB$.

Ответ: Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.

2. Докажите, что при движении отрезок отображается в равный себе отрезок.

Пусть дано движение $f$ и отрезок $AB$. Пусть это движение отображает концы отрезка, точки $A$ и $B$, в точки $A'$ и $B'$ соответственно.
1. По определению движения, расстояние между образами точек равно расстоянию между их прообразами. Следовательно, длина отрезка $A'B'$ равна длине отрезка $AB$: $A'B' = AB$.
2. Теперь докажем, что образом всего отрезка $AB$ является именно отрезок $A'B'$. Возьмем любую точку $C$, лежащую на отрезке $AB$. Для любой такой точки выполняется равенство: $AC + CB = AB$.
Пусть движение $f$ отображает точку $C$ в точку $C'$. Поскольку движение сохраняет расстояния, то $A'C' = AC$ и $C'B' = CB$.
Подставим эти равенства в предыдущее: $A'C' + C'B' = AB$.
Так как мы уже установили, что $A'B' = AB$, то получаем: $A'C' + C'B' = A'B'$.
Это равенство является признаком того, что точка $C'$ лежит на отрезке $A'B'$. Таким образом, любая точка отрезка $AB$ переходит в точку отрезка $A'B'$.
3. Так как движение является взаимно однозначным отображением, то и любая точка отрезка $A'B'$ является образом некоторой точки отрезка $AB$.
Следовательно, при движении отрезок $AB$ отображается в отрезок $A'B'$, причем их длины равны, что и требовалось доказать.

Ответ: При движении отрезок отображается в равный ему отрезок, так как движение сохраняет расстояния между концами отрезка и свойство точек лежать на отрезке между двумя другими точками.

3. Какой фигурой при движении будет образ: а) прямого угла; б) острого угла; в) треугольника; г) окружности?

Движение сохраняет не только расстояния, но и углы, параллельность прямых и другие геометрические свойства. Поэтому образ фигуры при движении является фигурой, равной (конгруэнтной) исходной.
а) прямого угла
Движение сохраняет величину углов. Прямой угол имеет меру 90 градусов. Следовательно, его образом при движении будет угол, также имеющий меру 90 градусов, то есть прямой угол.
б) острого угла
Острый угол имеет меру меньше 90 градусов. Так как движение сохраняет величину углов, образом острого угла будет острый угол той же самой величины.
в) треугольника
Треугольник задается тремя вершинами. При движении вершины треугольника $ABC$ переходят в точки $A'$, $B'$, $C'$. Стороны треугольника (отрезки $AB$, $BC$, $AC$) переходят в равные им отрезки $A'B'$, $B'C'$, $A'C'$. Таким образом, образом треугольника будет равный (конгруэнтный) ему треугольник.
г) окружности
Окружность определяется центром $O$ и радиусом $r$. При движении центр $O$ перейдет в некоторую точку $O'$. Любая точка $M$ на окружности находится на расстоянии $r$ от центра $O$. Её образ $M'$ будет находиться на том же расстоянии $r$ от образа центра $O'$, так как движение сохраняет расстояния ($O'M' = OM = r$). Следовательно, образом окружности будет окружность с тем же радиусом и новым центром.

Ответ: а) Образом прямого угла будет прямой угол; б) образом острого угла будет острый угол той же величины; в) образом треугольника будет равный ему треугольник; г) образом окружности будет окружность того же радиуса.

4. Какая связь существует между движением и наложением?

Связь между движением и наложением очень тесная. По сути, "движение" является строгим математическим определением интуитивного понятия "наложение".
Наложение — это мысленная или физическая операция, при которой одна фигура перемещается в пространстве без изменения формы и размеров и совмещается с другой фигурой. Если фигуры можно совместить наложением, их называют равными.
Движение — это геометрическое преобразование, которое формализует это понятие. Любое наложение можно описать как одно из движений (параллельный перенос, поворот, симметрия).
Таким образом, две фигуры равны (конгруэнтны) тогда и только тогда, когда существует движение, переводящее одну фигуру в другую. Можно сказать, что движение — это математическая модель наложения.

Ответ: Движение — это строгая математическая формализация интуитивного понятия наложения. Две фигуры можно совместить наложением тогда и только тогда, когда существует движение, отображающее одну фигуру на другую.