Номер 2.55, страница 86 - гдз по геометрии 9 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.55. Даны параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, удовлетворяющие условиям $AB=A_1B_1$, $AD=A_1D_1$ и $\angle A=\angle A_1$. Покажите, что эти параллелограммы равны между собой, т.е. совмещаются с помощью движения.

Для доказательства того, что параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны (то есть совмещаются с помощью движения), мы должны показать, что существует движение (изометрия), которое отображает один параллелограмм на другой.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$, $AD = A_1D_1$ и $\angle A = \angle A_1$. Эти условия в точности соответствуют первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Следовательно, треугольник $\triangle ABD$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1D_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABD \cong \triangle A_1B_1D_1$ следует, что существует движение $f$, которое совмещает эти треугольники. При этом движении соответствующие вершины совмещаются: $f(A) = A_1$, $f(B) = B_1$ и $f(D) = D_1$.

Теперь необходимо показать, что это же движение $f$ переводит и четвертую вершину $C$ в $C_1$, то есть $f(C) = C_1$.

В параллелограмме $ABCD$ положение вершины $C$ однозначно определяется положением трех других вершин $A$, $B$, и $D$. Используя правило параллелограмма для сложения векторов, мы можем записать: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Аналогично, в параллелограмме $A_1B_1C_1D_1$ для вершины $C_1$ справедливо следующее векторное равенство: $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$.

Движение сохраняет векторы и операцию их сложения. Поскольку движение $f$ переводит точки $A$, $B$, $D$ в $A_1$, $B_1$, $D_1$, оно также переводит вектор $\vec{AB}$ в вектор $\vec{A_1B_1}$ и вектор $\vec{AD}$ в вектор $\vec{A_1D_1}$. Тогда образ вектора $\vec{AC}$ при движении $f$ равен сумме образов его составляющих векторов:
$f(\vec{AC}) = f(\vec{AB} + \vec{AD}) = f(\vec{AB}) + f(\vec{AD}) = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$.

Из этого следует, что $f(\vec{AC}) = \vec{A_1C_1}$. Так как движение $f$ переводит начальную точку вектора $\vec{AC}$ (точку $A$) в начальную точку вектора $\vec{A_1C_1}$ (точку $A_1$), оно должно перевести и конечную точку вектора $\vec{AC}$ (точку $C$) в конечную точку вектора $\vec{A_1C_1}$ (точку $C_1$). Таким образом, мы доказали, что $f(C) = C_1$.

Итак, мы нашли движение $f$, которое переводит все вершины параллелограмма $ABCD$ в соответствующие вершины параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Это означает, что параллелограммы равны.

Ответ: Утверждение доказано. Параллелограммы $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, так как равенство двух смежных сторон и угла между ними ($AB=A_1B_1$, $AD=A_1D_1$, $\angle A=\angle A_1$) обеспечивает равенство треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle A_1B_1D_1$. Это, в свою очередь, гарантирует существование движения, совмещающего эти треугольники. Поскольку положение четвертой вершины параллелограмма однозначно определяется тремя другими, это же движение совмещает и четвертые вершины, а следовательно, и параллелограммы целиком.